Để giải phương trình \( 2\sqrt{9x^2 + 6x + 1} = 14 \), trước tiên ta chia cả hai vế cho 2:

\[
\sqrt{9x^2 + 6x + 1} = 7
\]

Tiếp theo, ta bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai:

\[
9x^2 + 6x + 1 = 49
\]

Giải phương trình này bằng cách đưa 49 sang vế trái:

\[
9x^2 + 6x + 1 - 49 = 0
\]
\[
9x^2 + 6x - 48 = 0
\]

Tiếp theo, ta có thể giải phương trình bậc 2 này bằng cách sử dụng công thức:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây, \(a = 9\), \(b = 6\), và \(c = -48\):

\[
b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-48) = 36 + 1728 = 1764
\]

Tiếp theo, tính căn bậc hai của 1764:

\[
\sqrt{1764} = 42
\]

Bây giờ, thay các giá trị vào công thức:

\[
x = \frac{-6 \pm 42}{2 \cdot 9}
\]

Tính cả hai nghiệm:

1. \(x_1 = \frac{-6 + 42}{18} = \frac{36}{18} = 2\)

2. \(x_2 = \frac{-6 - 42}{18} = \frac{-48}{18} = -\frac{8}{3}\)

Cuối cùng, ta cần kiểm tra xem các nghiệm này có thỏa mãn phương trình gốc hay không:

1. Với \(x = 2\):
\[
2\sqrt{9(2^2) + 6(2) + 1} = 2\sqrt{36 + 12 + 1} = 2\sqrt{49} = 14
\]
Thỏa mãn.

2. Với \(x = -\frac{8}{3}\):
\[
2\sqrt{9\left(-\frac{8}{3}\right)^2 + 6\left(-\frac{8}{3}\right) + 1} = 2\sqrt{9 \cdot \frac{64}{9} - 16 + 1} = 2\sqrt{64 - 16 + 1} = 2\sqrt{49} = 14
\]
Thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = 2 \quad \text{và} \quad x = -\frac{8}{3}
\]