Để chứng minh \( AI \) là tia phân giác của góc \( A \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \) và \( I \) là điểm cắt của tia phân giác góc \( B \) và tia phân giác góc \( C \), ta sẽ làm như sau:

Gọi \( D \) là điểm trên cạnh \( AC \) (điểm nằm bên ngoài), sao cho \( BI \) và \( CI \) cắt lần lượt \( AC \) và \( AB \) tại \( E \) và \( F \).

Theo tính chất của tia phân giác:

1. Tia phân giác \( BI \) chia góc \( ABC \) (góc \( B \) của tam giác) thành hai góc bằng nhau:
\[
\angle ABI = \angle IBC
\]

2. Tia phân giác \( CI \) chia góc \( ACB \) (góc \( C \) của tam giác) thành hai góc bằng nhau:
\[
\angle ACI = \angle ICB
\]

Do đó, từ \( I \) ta có:
\[
\angle ABI + \angle ACI = \angle A
\]

Theo các tính chất của tam giác vuông:
\[
\angle ABI + \angle IBC + \angle ACI + \angle ICB = \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]

Khi \( \angle A = 90^\circ \), chúng ta có:
\[
\angle B + \angle C = 90^\circ
\]

Do đó, có thể viết lại:
\[
\angle ABI + \angle IBC + \angle ACI + \angle ICB = 90^\circ
\]

Từ đó, cho thấy rằng ba góc \( \angle ABI, \angle ACI, \) và \( \angle A \) là ba góc đối diện với ba cạnh trong tam giác vuông.

### Bằng cách sử dụng tam giác vuông IAB và IAC
Khi hạ \( IH \) và \( IK \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \), ta có:

- Tam giác \( IHA \) vuông tại \( H \) và
- Tam giác \( IKA \) vuông tại \( K \)

### Suy ra mối quan hệ
Từ đó suy ra rằng các góc tại \( A \) được tạo bởi các tia phân giác \( BI \) và \( CI \) cũng chia đều góc \( A \).

### Kết luận
Như vậy, điểm \( I \) thuộc hai tia phân giác của \( B \) và \( C \) cắt nhau tại \( I \), và do đó, từ tính chất của các góc và hình học, ta có thể kết luận rằng \( AI \) chính là tia phân giác góc \( A \).

Vậy chứng minh rằng \( AI \) là tia phân giác của góc \( A \) đã hoàn tất. \( \blacksquare \)