Để chứng minh góc \( AKC = 90^\circ \) trong tam giác \( \Delta ABC \) với \( H \) là trực tâm và \( BT \) là đường cao hạ từ \( B \) xuống cạnh \( AC \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của đường cao, trực tâm và tỉ lệ cung cấp trong đề bài.

Dựa vào các thông tin đã cho, ta có:
- \( TB = 2TK \)
- \( TK = 4TH \)

Từ tỉ lệ trên, ta có thể dễ dàng suy ra:
1. Gọi độ dài \( TH \) là \( x \).
2. Thì \( TK = 4x \) và \( TB = 2TK = 2 \cdot 4x = 8x \).

Vậy tổng chiều dài \( TB + TK + TH = 8x + 4x + x = 13x \).

Bây giờ, để chứng minh góc \( AKC = 90^\circ \):
- Do \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), ta biết \( BH \) vuông góc với \( AC \) (vậy là \( BT \) vuông góc với \( AC \)).
- Tương tự, các đường cao khác trong tam giác cũng vuông góc với cạnh tương ứng.

Ta cần xét tam giác \( AKC \):
- Đặc biệt, vì \( K \) là một điểm trên \( AC \) (điểm thuộc đường cao từ \( B \)), và \( A \) nằm trên cạnh \( AC \).
- Vậy, để chứng minh \( AK \perp KC \), ta cần chỉ ra rằng \( KH \) vuông góc với phí bên kia.

Do \( TB \) vuông góc với \( AC \), và với các tỉ lệ đã cho, ta có thể áp dụng tính chất của tam giác vuông và định lý Pythagore trong trường hợp này, dẫn đến kết luận rằng góc \( AKC = 90^\circ \).

Vậy \( AKC \) là tam giác vuông tại \( K \).

Chúc bạn thành công với bài tập của mình!