Tìm điểm cực trị của z = x^3(y - 1) - 3x + 2 thỏa mãn điều kiện x - y + 1 = 0

Để tìm điểm cực trị của hàm \( z = x^3(y - 1) - 3x + 2 \) với điều kiện ràng buộc \( x - y + 1 = 0 \), ta có thể sử dụng phương pháp Lagrange để tìm cực trị có điều kiện.

### Bước 1: Thiết lập hàm Lagrange
Ta định nghĩa hàm Lagrange như sau:

\[
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^3(y - 1) - 3x + 2 + \lambda (x - y + 1)
\]

### Bước 2: Tính các đạo hàm riêng
Tính đạo hàm riêng của \( \mathcal{L} \):

1. Đạo hàm theo \( x \):

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 3x^2(y - 1) - 3 + \lambda
\]

2. Đạo hàm theo \( y \):

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x^3 - \lambda
\]

3. Đạo hàm theo \( \lambda \):

\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x - y + 1
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Ta thiết lập hệ phương trình từ đạo hàm bằng 0:

\[
\begin{cases}
3x^2(y - 1) - 3 + \lambda = 0 \\
x^3 - \lambda = 0 \\
x - y + 1 = 0
\end{cases}
\]

### Bước 4: Tìm nghiệm
Thay \( y = x + 1 \) vào các phương trình trên:

1. Từ phương trình thứ nhất:

\[
3x^2((x + 1) - 1) - 3 + \lambda = 0 \implies 3x^3 - 3 + \lambda = 0 \implies \lambda = 3 - 3x^3
\]

2. Từ phương trình thứ hai:

\[
x^3 - \lambda = 0 \implies x^3 = 3 - 3x^3 \implies 4x^3 = 3 \implies x^3 = \frac{3}{4} \implies x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}
\]

### Bước 5: Tính \( y \)
Từ \( y = x + 1 \):

\[
y = \sqrt[3]{\frac{3}{4}} + 1
\]

### Bước 6: Đánh giá tính cực trị
Ta tính giá trị \( z \) tại \( (x, y) \) để xác định cực trị.

### Kết luận
Cực trị của hàm \( z = x^3(y - 1) - 3x + 2 \) thoả mãn điều kiện \( x - y + 1 = 0 \) xảy ra tại điểm \( \left( \sqrt[3]{\frac{3}{4}}, \sqrt[3]{\frac{3}{4}} + 1 \right) \).