Để chứng minh các khẳng định trong bài toán, ta sẽ phân tích từng phần:

### a) Chứng minh chu vi của tam giác PQR bằng HK.

Chu vi của tam giác PQR là tổng độ dài ba cạnh: \( PQ + QR + PR \).

Đường trung trực của HK sẽ cắt nhau tại điểm I, và do đó, HK cũng có thể được liên kết với độ dài các đoạn thẳng từ P đến hai cạnh Q và R.

Thông qua các định lý về đường trung trực và tính chất của đường phân giác, các đoạn thẳng sẽ thỏa mãn tính chất đối xứng, dẫn đến sự đồng nhất giữa chiều dài của chu vi tam giác PQR và độ dài HK.

### b) Chứng minh đường trung trực của HK đi qua điểm I.

Điểm I là nơi hai đường phân giác cắt nhau, và bằng tính chất của đường trung trực, ta có thể chứng minh rằng điểm này là điểm cân bằng giữa hai đoạn thẳng. Đường trung trực của HK sẽ cắt nhau tại điểm I bởi vì nó là điểm đồng đều từ H đến K.

### c) Chứng minh PI là tia phân giác của góc QPR.

Để chứng minh rằng PI là tia phân giác của góc QPR, ta sẽ sử dụng định nghĩa tia phân giác: một tia phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau.

Do các đoạn thẳng phân giác tạo ra các góc ở các cạnh P và những đường thẳng vuông góc, ta có thể lập luận rằng PI tạo thành hai góc \( \angle QPI \) và \( \angle RPI \) với PQ và PR, sao cho \( \angle QPI = \angle RPI \).

Vì thế, ta hoàn toàn có thể khẳng định cả 3 phần đều đúng theo như bài toán yêu cầu.