Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ hình dung hình vuông ABCD và các điểm M, N, P, Q được lấy trên các cạnh của nó.

1. **Dữ liệu**: Cho hình vuông ABCD với các đỉnh A, B, C, D có tọa độ lần lượt là \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a, a)\), \(D(0, a)\) với \(a\) là độ dài cạnh của hình vuông. Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AB\), \(N\) trên cạnh \(BC\), \(P\) trên cạnh \(CD\) và \(Q\) trên cạnh \(AD\) sao cho \(AM = BN = CP = DQ = x\).

2. **Tọa độ các điểm**:
- Điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) có tọa độ \(M(x, 0)\)
- Điểm \(N\) trên cạnh \(BC\) có tọa độ \(N(a, x)\)
- Điểm \(P\) trên cạnh \(CD\) có tọa độ \(P(a - x, a)\)
- Điểm \(Q\) trên cạnh \(AD\) có tọa độ \(Q(0, a - x)\)

### a) So sánh MQ và NP
- Tính độ dài MQ:
\[
MQ = \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - (a - x))^2} = \sqrt{x^2 + (x - a)^2} = \sqrt{x^2 + (x^2 - 2ax + a^2)} = \sqrt{2x^2 - 2ax + a^2}
\]

- Tính độ dài NP:
\[
NP = \sqrt{(a - (a - x))^2 + (x - a)^2} = \sqrt{x^2 + (x - a)^2} = \sqrt{x^2 + (x^2 - 2ax + a^2)} = \sqrt{2x^2 - 2ax + a^2}
\]

Từ hai tính toán trên, ta thấy:
\[
MQ = NP
\]

### b) Tứ giác MNPQ hình gì?
Để xác định hình dạng của tứ giác MNPQ, ta xem xét các cạnh của nó:
- Cạnh \(MN\):
\[
MN = \sqrt{(x - a)^2 + (0 - x)^2} = \sqrt{(x - a)^2 + x^2} = \sqrt{2x^2 - 2ax + a^2}
\]

- Cạnh \(PQ\):
Tính tương tự như đã làm cho MQ và NP, ta thấy \(PQ = MN\).

Cả hai cặp đối diện \(MN\) và \(PQ\), cùng chiều dài, và \(MQ\) và \(NP\) cũng bằng nhau. Điều này cho thấy rằng \(MNPQ\) là một hình chữ nhật (không nhất thiết phải là hình vuông trừ khi \(AM = x\) bằng chính một nửa cạnh của hình vuông, tức là \(x = \frac{a}{2}\)).

Vậy tứ giác \(MNPQ\) là **hình chữ nhật**.