Cho tam giác ABC với I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA

Để chứng minh mối quan hệ giữa các véc-tơ như đã nêu, ta sẽ sử dụng tọa độ của các điểm trong tam giác ABC.

Giả sử các điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là:
- A = \( \vec{a} \)
- B = \( \vec{b} \)
- C = \( \vec{c} \)

Khi đó, tọa độ của các trung điểm I, J, K sẽ là:
- I (trung điểm AB) = \( \vec{i} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \)
- J (trung điểm BC) = \( \vec{j} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} \)
- K (trung điểm CA) = \( \vec{k} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} \)

Tiếp theo, ta xác định điểm D thuộc đoạn BC sao cho \( DB = \frac{2}{3} BC \). Diện tích BC có thể được biểu diễn như sau:
\[
\vec{d} = \vec{b} + \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}
\]

Bây giờ, ta xác định tọa độ điểm M (trung điểm AD):
\[
M = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} = \frac{\vec{a} + \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}}{2} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}}{6}
\]

Tiếp theo, tính véc-tơ BM:
\[
\vec{BM} = \vec{M} - \vec{b} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}}{6} - \vec{b} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c} - 6\vec{b}}{6} = \frac{3\vec{a} - 4\vec{b} + \vec{c}}{6}
\]

Người ta muốn chứng minh rằng:
\[
6\vec{BM} = 2\vec{AC} - 5\vec{AB}
\]

Bây giờ, tính \( 2\vec{AC} \) và \( -5\vec{AB} \):
\[
\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}
\]
\[
\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}
\]

Do đó:
\[
2\vec{AC} = 2(\vec{c} - \vec{a}) = 2\vec{c} - 2\vec{a}
\]
\[
-5\vec{AB} = -5(\vec{b} - \vec{a}) = -5\vec{b} + 5\vec{a}
\]

Kết hợp lại:
\[
2\vec{AC} - 5\vec{AB} = (2\vec{c} - 2\vec{a}) + (-5\vec{b} + 5\vec{a}) = 2\vec{c} - 5\vec{b} + 3\vec{a}
\]

Sau đó, ta cần tính \( 6\vec{BM} \):
\[
6\vec{BM} = 6 \cdot \frac{3\vec{a} - 4\vec{b} + \vec{c}}{6} = 3\vec{a} - 4\vec{b} + \vec{c}
\]

Cuối cùng, so sánh với \( 2\vec{AC} - 5\vec{AB} \):
\[
2\vec{AC} - 5\vec{AB} = 3\vec{a} - 4\vec{b} + 2\vec{c}
\]
Như vậy:
\[
6\vec{BM} = 3\vec{a} - 4\vec{b} + \vec{c}
\]
Vậy ta đã chứng minh được:
\[
6\vec{BM} = 2\vec{AC} - 5\vec{AB}
\]

Vậy thì mối quan hệ đã được chứng minh là đúng.