Để giải bài toán này, ta cần phân tích thời gian đi từ A đến B và thời gian quay về từ B về A.

Gọi chiều dài quãng đường AB là \( D \) (km).

1. **Thời gian đi từ A đến B**:
Vận tốc là 15 km/h, do đó thời gian đi từ A đến B là:
\[
t_1 = \frac{D}{15} \text{ (giờ)}
\]

2. **Thời gian quay về từ B đến A**:
Vận tốc là 20 km/h, do đó thời gian quay về từ B về A là:
\[
t_2 = \frac{D}{20} \text{ (giờ)}
\]

3. **Tổng thời gian đi và về**:
Tổng thời gian là:
\[
t_1 + t_2 = \frac{D}{15} + \frac{D}{20}
\]
Để cộng hai phân số này, ta cần đưa về mẫu số chung. Mẫu số chung của 15 và 20 là 60:
\[
t_1 + t_2 = \frac{4D}{60} + \frac{3D}{60} = \frac{(4D + 3D)}{60} = \frac{7D}{60}
\]

4. **Thời gian cả đi lẫn về**:
Thời gian cả đi lẫn về là 1 giờ 24 phút, mà 1 giờ 24 phút = 1.4 giờ (24 phút = 0.4 giờ).
Do đó, ta có phương trình:
\[
\frac{7D}{60} = 1.4
\]

5. **Giải phương trình**:
Nhân cả hai vế với 60 để giải cho \( D \):
\[
7D = 1.4 \times 60
\]
Tính giá trị bên phải:
\[
1.4 \times 60 = 84
\]
Nên:
\[
7D = 84
\]
Chia cả hai vế cho 7:
\[
D = \frac{84}{7} = 12
\]

Vậy chiều dài quãng đường AB là **12 km**.