Tìm m để phương trình x^2 + x + m = 0 có 2 nghiệm x1, x2 và biểu thức Q = x1^2(x1+1) + x2^2(x2+1) đạt GTLN

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần xác định điều kiện để phương trình \(x^2 + x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\).

Phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu delta (điểm phân biệt) \(D > 0\):
\[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times m = 1 - 4m > 0
\]
Từ đó, ta có:
\[
1 - 4m > 0 \implies 4m < 1 \implies m < \frac{1}{4}
\]

Tiếp theo, ta cần tính giá trị biểu thức \(Q = x_1^2(x_1 + 1) + x_2^2(x_2 + 1)\). Ta có thể viết lại biểu thức này:
\[
Q = x_1^2 \cdot x_1 + x_1^2 + x_2^2 \cdot x_2 + x_2^2 = x_1^3 + x_1^2 + x_2^3 + x_2^2
\]
Nhận thấy rằng \(x_1 + x_2 = -1\) và \(x_1 x_2 = m\) từ định lý Viète.

Ta tìm \(x_1^2 + x_2^2\) từ công thức:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-1)^2 - 2m = 1 - 2m
\]

Và \(x_1^3 + x_2^3\) có thể tính bằng công thức:
\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2) = -1 \cdot ((1 - 2m) - m) = -1(1 - 3m)
\]

Dễ dàng nhận thấy \(Q\) có thể viết lại như sau:
\[
Q = (x_1^3 + x_2^3) + (x_1^2 + x_2^2) = -1(1 - 3m) + (1 - 2m) = -1 + 3m + 1 - 2m = m
\]

Giá trị của \(Q\) phụ thuộc vào \(m\) và đạt giá trị lớn nhất (GTLN) khi \(m\) có giá trị lớn nhất có thể dưới điều kiện đã cho.

Vì \(m < \frac{1}{4}\), giá trị lớn nhất của \(m\) để đảm bảo phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
\[
m \to \frac{1}{4}
\]

Vậy, ta kết luận:
- Để phương trình \(x^2 + x + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\), và \(Q = x_1^2(x_1 + 1) + x_2^2(x_2 + 1)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(m\) phải nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\).