Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh a³ /b ( 2c + a ) + b³ /c (2a + b ) + c³/( a ( 2b + c ) > 1

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a^3}{b(2c + a)} + \frac{b^3}{c(2a + b)} + \frac{c^3}{a(2b + c)} > 1
\]

với điều kiện \( a, b, c > 0 \) và \( a + b + c = 3 \), chúng ta có thể sử dụng lọc giá trị và một số bất đẳng thức nổi tiếng như Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Ta sẽ áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các đại lượng dưới đây:

\[
\left( \frac{a^3}{b(2c + a)} + \frac{b^3}{c(2a + b)} + \frac{c^3}{a(2b + c)} \right) \left( b(2c + a) + c(2a + b) + a(2b + c) \right) \geq (a^2 + b^2 + c^2)^2
\]

Đặt \( S = b(2c + a) + c(2a + b) + a(2b + c) \), ta có:

\[
S = 2bc + ab + 2ca + ac + 2ab + bc = 3(ab + bc + ca)
\]

Bây giờ theo Áo đó Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( a, b, c \):

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3} = \frac{9}{3} = 3
\]

Vậy ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq 3
\]

Điều này dẫn đến

\[
(a^2 + b^2 + c^2)^2 \geq 3^2 = 9
\]

Vì vậy, từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz mà chúng ta đã áp dụng, ta có:

\[
\left( \frac{a^3}{b(2c + a)} + \frac{b^3}{c(2a + b)} + \frac{c^3}{a(2b + c)} \right) \times (3(ab + bc + ca)) \geq 9
\]

Do đó, ta suy ra rằng:

\[
\frac{a^3}{b(2c + a)} + \frac{b^3}{c(2a + b)} + \frac{c^3}{a(2b + c)} \geq \frac{9}{3(ab + bc + ca)}
\]

Bây giờ ta cần chứng minh rằng \( ab + bc + ca < 3 \) (điều này đúng với chúng ta). Nếu \( a = b = c = 1 \), ta có \( ab + ac + bc = 3 \), giá trị này chỉ đạt được khi \( a, b, c \) đều bằng nhau, và sẽ nhỏ hơn khi một trong ba số lớn hơn 1.

Cuối cùng, ta có thể xác nhận rằng:

\[
\frac{9}{3(ab + bc + ca)} > 1
\]

hoặc

\[
\frac{9}{3} = 3
\]

Do đó, kết luận cuối cùng là:

\[
\frac{a^3}{b(2c+a)} + \frac{b^3}{c(2a+b)} + \frac{c^3}{a(2b+c)} > 1.
\]

Kết thúc chứng minh!