Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình

\[
\begin{cases}
2x + y = 5m^2 - 1 \\
x - 2y = m^2
\end{cases}
\]

có nghiệm \((x, y)\) sao cho \( x + y \) là nhỏ nhất, ta sẽ giải hệ phương trình và tìm điều kiện tối ưu cho \( m \).

### Bước 1: Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
x = m^2 + 2y
\]

Thay \( x \) vào phương trình thứ nhất:

\[
2(m^2 + 2y) + y = 5m^2 - 1
\]

Rút gọn:

\[
2m^2 + 4y + y = 5m^2 - 1
\]

\[
2m^2 + 5y = 5m^2 - 1
\]

\[
5y = 5m^2 - 1 - 2m^2
\]

\[
5y = 3m^2 - 1
\]

\[
y = \frac{3m^2 - 1}{5}
\]

Thay giá trị của \( y \) vào phương trình \( x = m^2 + 2y \):

\[
x = m^2 + 2\left( \frac{3m^2 - 1}{5} \right)
\]

\[
x = m^2 + \frac{6m^2 - 2}{5}
\]

Rút gọn:

\[
x = \frac{5m^2 + 6m^2 - 2}{5} = \frac{11m^2 - 2}{5}
\]

### Bước 2: Tính \( x + y \)

Giá trị \( x + y \) là:

\[
x + y = \frac{11m^2 - 2}{5} + \frac{3m^2 - 1}{5}
\]

\[
x + y = \frac{11m^2 - 2 + 3m^2 - 1}{5} = \frac{14m^2 - 3}{5}
\]

### Bước 3: Tối ưu hóa \( x + y \)

Để giá trị \( x + y \) nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị tối thiểu của \( m \) trong biểu thức \( 14m^2 - 3 \). Khi đó, biểu thức này đạt giá trị tối thiểu khi \( m = 0 \):

\[
x + y = \frac{14(0)^2 - 3}{5} = -\frac{3}{5}
\]

### Kết luận

Giá trị \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \((x, y)\) sao cho \( x + y \) là nhỏ nhất là:

\[
m = 0
\]