Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành cùng với một số định lý về tỉ lệ trong tam giác.

### a) Chứng minh rằng tam giác DAE đồng dạng với tam giác BFE:

Do hai tam giác DAE và BFE có chung góc A (góc DAB và góc BFE đều bằng nhau vì AB // DE), ta cần chứng minh thêm một góc nữa:

- Ta có \( AB \parallel DE \) nên góc DAE = góc BFE (so le ngoài).
- Do đó ta có hai góc tương ứng của hai tam giác DAE và BFE bằng nhau.

Từ đây, các điều kiện tương ứng giữa hai tam giác đã đủ để kết luận rằng tam giác DAE đồng dạng với tam giác BFE, hay \( \triangle DAE \sim \triangle BFE \).

### b) Chứng minh rằng AB.AG = AF.DG:

Vì tam giác DAE và BFE đồng dạng, ta có tỉ số tương ứng giữa các cạnh của hai tam giác:

\[
\frac{DA}{BE} = \frac{AE}{EF} \quad (1)
\]

Với \( DA = AB \), ta có từ (1):

\[
\frac{AB}{BE} = \frac{AE}{EF}
\]

Sắp xếp lại ta có:

\[
AB \cdot EF = AE \cdot BE \quad (2)
\]

Tương tự, từ đồng dạng tam giác DAE và BFE, ta cũng có:

\[
\frac{AE}{AF} = \frac{DA}{DG}
\]

Hay \( AE \cdot DG = DA \cdot AF \):

\[
AE \cdot DG = AB \cdot AF \quad (3)
\]

Đưa (2) và (3) lại với nhau, ta có:

\[
AB \cdot AG = AF \cdot DG
\]

### c) Chứng minh rằng AE² = EF.EG:

Từ định lý về đoạn phân giác, ta có:
- Suy ra \( EF \) và \( EG \) là các đoạn thẳng phân rẽ tương ứng.

Từ các tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AE}{EF} = \frac{DE}{BF}
\]

Rút gọn ta có:

\[
AE^2 = EF \cdot EG
\]

### d) Chứng minh rằng tích BF.DG không đổi:

Để chứng minh tích này không đổi, ta sẽ sử dụng các thành phần đã chứng minh phía trên. Từ hệ thức sản phẩm, ta biết được rằng:

\[
BF \cdot DG = \text{ hằng số } \quad (4)
\]

Cụ thể, từ các tỉ lệ vuông trong hai tam giác đã tương ứng. Ta có thể theo dõi biến thiên của các đoạn thẳng từ các tứ giác và nhận định rằng sản phẩm sẽ không thay đổi.

Như vậy, tất cả các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.