Để phân tích đa thức \( x^4 - 2x^3 + 2x - 1 \) thành nhân tử, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Kiểm tra các số nguyên có thể là nghiệm**: Theo định lý nghiệm, ta muốn tìm các nghiệm của đa thức bằng cách thử với các số nguyên. Có thể thử các nghiệm như \( x = 1, 0, -1, 2, -2 \), v.v.

Khi thử với \( x = 1 \):
\[
1^4 - 2 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0
\]
Vậy \( x = 1 \) là một nghiệm.

2. **Chia đa thức cho \( x - 1 \)**: Bây giờ ta sẽ thực hiện chia đa thức \( x^4 - 2x^3 + 2x - 1 \) cho \( x - 1 \) bằng phép chia đa thức.

- Thực hiện các bước chia như sau:

\[
x^4 - 2x^3 + 2x - 1 \div (x - 1)
\]

- Nhân \( x - 1 \) với \( x^3 \):
\[
x^4 - x^3
\]
- Trừ hai đa thức:
\[
(-2x^3 + x^3) + 2x - 1 = -x^3 + 2x -1
\]
- Nhân \( x - 1 \) với \( -x^2 \):
\[
-x^3 + x^2
\]
- Trừ:
\[
(-x^3 + 2x - 1) - (-x^3 + x^2) = -x^2 + 2x - 1
\]
- Nhân \( x - 1 \) với \( -x \):
\[
-x^2 + x
\]
- Trừ:
\[
(-x^2 + 2x - 1) - (-x^2 + x) = x - 1
\]
- Nhân \( x - 1 \) với \( 1 \):
\[
x - 1
\]
- Trừ:
\[
(x - 1) - (x - 1) = 0
\]

Vậy, \( x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = (x - 1)(x^3 - x^2 + x + 1) \).

3. **Phân tích tiếp \( x^3 - x^2 + x + 1 \)**: Chúng ta có thể thử tìm nghiệm cho đa thức bậc 3 này.

Thử các giá trị như đã làm ở bước trước:

Khi thử với \( x = -1 \):
\[
(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 - 1 - 1 + 1 = -2 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]
Khi thử với \( x = 1 \), ta đã thấy \( 1 \) không phải là nghiệm.

Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng phương pháp nhóm và tìm hiểu.

Thực hiện chia \( x^3 - x^2 + x + 1 \):
\[
= x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2 + 1)(x - 1)
\]

4. **Kết quả cuối cùng**: Sau khi phân tích ta có:
\[
x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = (x - 1)^2 (x^2 + 1)
\]

Do đó, phân tích cuối cùng của đa thức là:
\[
(x - 1)^2 (x^2 + 1)
\]