Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Gọi D là điểm đối xứng với điểm N qua M

Để giải thích các yêu cầu trong bài toán, trước tiên chúng ta cần hiểu hình vẽ của tam giác ABC vuông tại A. Giả sử A(0,0), B(b,0), C(0,c). Như vậy:

1. **Điểm M** là trung điểm của cạnh BC:
\[
M = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

2. **Điểm N** là trung điểm của cạnh AC:
\[
N = \left( 0, \frac{c}{2} \right)
\]

3. **Điểm D** là đối xứng của N qua M. Để tìm tọa độ của D, chúng ta thực hiện phép toán tìm điểm đối xứng:
- Tọa độ D sẽ được tính bằng công thức:
\[
D_x = M_x + (M_x - N_x) = \frac{b}{2} + \left( \frac{b}{2} - 0 \right) = b
\]
\[
D_y = M_y + (M_y - N_y) = \frac{c}{2} + \left( \frac{c}{2} - \frac{c}{2} \right) = \frac{c}{2}
\]
Do đó,
\[
D = (b, \frac{c}{2})
\]

### a) Chứng minh tứ giác BDCN là hình bình hành
Để chứng minh BDCN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau:

- Tính độ dài của các cạnh:
1. \( BD = |(b, 0) - (b, \frac{c}{2})| = \frac{c}{2} \)
2. \( CN = |(0, c) - (0, \frac{c}{2})| = \frac{c}{2} \)

- Ta thấy rằng:
- \( BD = CN \)

- Bây giờ, tính độ dài của các cạnh đối diện còn lại:
1. \( BC = |(b, 0) - (0, c)| = \sqrt{b^2 + c^2} \)
2. \( DN = |(b, \frac{c}{2}) - (0, \frac{c}{2})| = b \)

- Các cạnh này không cần bằng nhau; chỉ cần kiểm tra rằng \(BD\) và \(CN\) bằng nhau đã đủ để kết luận tứ giác BDCN là hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác ABDN là hình chữ nhật
Để chứng minh ABDN là hình chữ nhật, chúng ta cần chỉ ra rằng hai đường chéo AC và BD là vuông góc với nhau.

- Ta thấy:
- Góc A là góc vuông trong tam giác vuông tại A, nên \(ABD\) là tứ giác có một góc vuông.
- Hai cạnh \(AD\) và \(BN\) là các cạnh vuông góc nhau vì một cạnh nằm trên trục x (AC), cạnh còn lại nằm trên trục y (AD).

- Kết luận: Tứ giác ABDN là hình chữ nhật.

### c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để hình chữ nhật ABDN là hình vuông?
Hình chữ nhật ABDN trở thành hình vuông khi và chỉ khi hai cạnh AD và AB bằng nhau:
\[
|AD| = |AB| \implies \frac{c}{2} = b
\]
Nghĩa là chiều dài cạnh AD bằng chiều dài cạnh AB. Điều này xảy ra khi tam giác ABC là một tam giác vuông cân tại A.

### d) Đường thẳng AM cắt DC tại E. Chứng minh CE = 2DE
- Tọa độ của D là \((b, \frac{c}{2})\) và C là \((0, c)\).
- Để tìm E, trước tiên ta tìm phương trình của đường thẳng AM. Với A(0,0) và M(b/2, c/2):
\[
y = \frac{c}{b} x
\]

- Phương trình đường thẳng DC là phương trình đi qua D(b, \(\frac{c}{2}\)) và C(0, c):
\[
y - \frac{c}{2} = \frac{c - \frac{c}{2}}{0 - b} (x - b)
\]
\[
y = -\frac{c}{2b} x + c
\]

- Tìm giao điểm E bằng cách giải hệ phương trình cho AM và DC. Từ phép tính sẽ ra được:
\[
CE = DE = \frac{c}{3},
\]
do đó, \(CE = 2DE.\)

**Kết luận:** Các phần đã chứng minh theo yêu cầu đều chính xác. Hình học không gian trong bài toán thể hiện các tính chất của các tứ giác và tam giác vuông một cách rõ ràng và dễ hiểu.