Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính thời gian để bể đầy nước**: Thời gian là 1 giờ 20 phút, tức là \(80\) phút.

2. **Tính tỷ lệ nước chảy vào bể khi cả hai vòi cùng hoạt động**: Giả sử thể tích của bể là \(1\) đơn vị. Khi hai vòi cùng chảy vào, trong \(80\) phút bể đầy tức là tốc độ chảy (của cả hai vòi) là:

\[
\text{Tốc độ của cả hai vòi} = \frac{1}{80}
\text{ đơn vị nước/phút}
\]

3. **Tình huống vòi thứ nhất chảy trong 10 phút**: Gọi tốc độ chảy của vòi thứ nhất là \(x\) và vòi thứ hai là \(y\). Khi vòi thứ nhất hoạt động 10 phút, lượng nước chảy vào là \(10x\).

4. **Khi vòi thứ hai chảy trong 12 phút**: Lượng nước chảy vào từ vòi thứ hai là \(12y\).

5. **Tổng lượng nước chảy vào từ cả hai vòi**:

\[
10x + 12y = \frac{2}{15} \text{ (tương ứng với thể tích 2/15 của bể)}
\]

và từ các vòi chảy cùng lúc, ta cũng có:

\[
x + y = \frac{1}{80}
\]

6. **Giải hệ phương trình này**: Thay \(y\) = \( \frac{1}{80} - x \) vào phương trình đầu tiên, sau đó giải tìm \(x\) và \(y\).

Bạn có thể tham khảo thêm để tìm số phút cho từng vòi chảy riêng biệt từ việc giải phương trình trên. Sau đó, dùng thời gian mà từng vòi chảy để tính ra thời gian cần thiết để đầy bể.