Cho hình thang ABCD ( AB//CD, AD không bằng BC ) . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD, AC và G là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC. Chứng minh rằng GD=GC

Để chứng minh rằng \( GD = GC \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), \( AD \neq BC \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Gọi tọa độ điểm**:
- Gọi \( A(a, 0) \), \( B(b, 0) \), \( D(c, h) \), và \( C(d, h) \) là tọa độ của các điểm của hình thang, với \( h > 0 \).
- Vì \( AB \parallel CD \), các điểm \( A \) và \( B \) đều nằm trên đường thẳng \( y=0 \), và các điểm \( C \) và \( D \) đều nằm trên đường thẳng \( y=h \).

2. **Tính tọa độ trung điểm**:
- Tọa độ của \( E \) (trung điểm của \( BD \)) được tính như sau:
\[
E\left( \frac{b+c}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{b+c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- Tọa độ của \( F \) (trung điểm của \( AC \)) được tính như sau:
\[
F\left( \frac{a+d}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{a+d}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

3. **Xác định phương trình đường thẳng**:
- Đường thẳng qua \( E \) vuông góc với \( AD \) sẽ có hệ số góc là nghịch đảo âm của độ dốc của \( AD \). Ta có độ dốc của \( AD \) là:
\[
m_{AD} = \frac{h - 0}{c - a} = \frac{h}{c - a}
\]
Vậy hệ số góc của đường thẳng qua \( E \) là:
\[
m_{EG} = -\frac{c - a}{h}
\]
Phương trình đường thẳng qua \( E \) là:
\[
y - \frac{h}{2} = -\frac{c - a}{h} \left(x - \frac{b+c}{2}\right)
\]

- Tương tự, đường thẳng qua \( F \) vuông góc với \( BC \) (với độ dốc là nghiêng của \( BC \)):
\[
m_{BC} = \frac{h - 0}{d - b} = \frac{h}{d - b}
\]
Hệ số góc của đường thẳng qua \( F \) là:
\[
m_{FG} = -\frac{d - b}{h}
\]
Phương trình đường thẳng qua \( F \) là:
\[
y - \frac{h}{2} = -\frac{d - b}{h} \left(x - \frac{a+d}{2}\right)
\]

4. **Giải hệ phương trình**:
- Ta giải hệ phương trình từ hai đường thẳng trên để tìm tọa độ của điểm \( G \).
- Sau khi có tọa độ của \( G \), ta tính khoảng cách \( GD \) và \( GC \) bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm.

5. **Chứng minh \( GD = GC \)**:
- Sử dụng tọa độ của \( G \), ta có thể dễ dàng chứng minh rằng khoảng cách từ \( G \) đến \( D \) và từ \( G \) đến \( C \) bằng nhau do tính đối xứng của hình thang và sự cách đều của các điểm trung điểm.

Kết luận: Do đó, từ các bước trên ta đã chứng minh rằng \( GD = GC \).