Cho hệ phương trình (2m + 1) (x + y) - 4m = y - 1

Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
(2m + 1)(x + y) - 4m = y - 1 \quad (1)\\
2m(x - 2m) = y - 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

Trước tiên, chúng ta sẽ biến đổi các phương trình để tìm m.

**Bước 1: Giải phương trình (1)**

Từ phương trình (1), chúng ta có:

\[
(2m + 1)(x + y) - 4m = y - 1
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
(2m + 1)(x + y) - y = 4m - 1
\]

\[
(2m + 1)x + (2m + 1 - 1)y = 4m - 1
\]

\[
(2m + 1)x + 2my = 4m - 1 \quad (3)
\]

**Bước 2: Giải phương trình (2)**

Từ phương trình (2):

\[
2m(x - 2m) = y - 2
\]

Sắp xếp lại ta có:

\[
y = 2m(x - 2m) + 2
\]

\[
y = 2mx - 4m^2 + 2 \quad (4)
\]

**Bước 3: Thay giá trị y từ phương trình (4) vào phương trình (3)**

Thay (4) vào (3):

\[
(2m + 1)x + 2m(2mx - 4m^2 + 2) = 4m - 1
\]

Giải phương trình này:

\[
(2m + 1)x + 4m^2x - 8m^3 + 4m = 4m - 1
\]

Sắp xếp lại để tìm x:

\[
(2m + 1 + 4m^2)x - 8m^3 + 4m = 4m - 1
\]

\[
(2m + 1 + 4m^2)x = 4m - 1 + 8m^3 - 4m
\]

\[
(2m + 1 + 4m^2)x = 8m^3 - 1
\]

\[
x = \frac{8m^3 - 1}{2m + 1 + 4m^2}
\]

**Bước 4: Tìm y từ x**

Thay x vào phương trình (4) để tìm y:

\[
y = 2m\left(\frac{8m^3 - 1}{2m + 1 + 4m^2}\right) - 4m^2 + 2
\]

**Bước 5: Tìm m để x và y đạt giá trị nhỏ nhất**

Thay x và y vào một đối tượng nào đó để tìm giá trị nhỏ nhất. Một phương án phù hợp là tìm tổng của x và y:

\[
x + y = \frac{8m^3 - 1}{2m + 1 + 4m^2} + \left[2m\left(\frac{8m^3 - 1}{2m + 1 + 4m^2}\right) - 4m^2 + 2\right]
\]

Tối ưu hóa x và y với m là một bài toán phức tạp, có thể yêu cầu tính đạo hàm và tìm điểm cực tiểu.

Tuy nhiên, hầu hết các phương trình sẽ cho các giá trị m thực khác nhau tùy theo các tham số. Để thiết lập một giá trị nghiệm, ta có thể tìm m sao cho cả hai phương trình đồng thời tồn tại nghiệm thực.

Giống như một ví dụ, thử giá trị m = 0 sẽ cho phương trình đơn giản hơn để kiểm tra có các nghiệm bình thường không.

Sau khi thực hiện các bước này và khảo sát m, ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất cho nghiệm khi m thỏa mãn điều kiện ở trên.