Để chứng minh rằng \( GD = GC \) trong hình thang \( ABCD \) với các điều kiện đã cho, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Đặt hệ trục tọa độ**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(b, h) \), \( D(c, h) \) với \( h > 0 \). Do đó, độ dài các cạnh sẽ là \( AB = a \), \( CD = b - c \), và biết rằng \( AD \) không bằng \( BC \).

2. **Tính tọa độ trung điểm**:
- Tọa độ điểm \( E \) (trung điểm của \( BD \)):
\[
E = \left( \frac{a+c}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{a+c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- Tọa độ điểm \( F \) (trung điểm của \( AC \)):
\[
F = \left( \frac{0+b}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

3. **Phân tích các đường thẳng**:
- Đường thẳng qua \( E \) vuông góc với \( AD \) (với \( AD\) có độ dốc là \( \frac{h}{c} \)):
- Đường thẳng \( AD \) có phương trình: \( y = \frac{h}{c}x \) ⇒ Độ dốc của đường thẳng qua \( E \) vuông góc với \( AD \) là \( -\frac{c}{h} \).
- Phương trình đường thẳng qua \( E \):
\[
y - \frac{h}{2} = -\frac{c}{h}\left(x - \frac{a+c}{2}\right)
\]

- Đường thẳng qua \( F \) vuông góc với \( BC \) (với \( BC\) có độ dốc là \( \frac{h}{b-a} \)):
- Độ dốc của đường thẳng qua \( F \) vuông góc với \( BC \) là \( -\frac{b-a}{h} \).
- Phương trình đường thẳng qua \( F \):
\[
y - \frac{h}{2} = -\frac{b-a}{h}\left(x - \frac{b}{2}\right)
\]

4. **Tìm giao điểm \( G \)**:
- Giải đồng thời hai phương trình trên để tìm tọa độ của \( G \).

5. **Chứng minh \( GD = GC \)**:
- Để chứng minh \( GD = GC \), ta cần chứng minh rằng \( G \) cách điểm \( D \) và \( C \) như nhau, tức là khoảng cách từ \( G \) đến \( D \) và khoảng cách từ \( G \) đến \( C \) là như nhau.
- Sử dụng tính chất của hình thang và các giao điểm, ta có thể sử dụng định lý về đường trung bình cho các cạnh trong hình thang để kết luận rằng \( GD = GC \).

Hy vọng rằng qua các bước trình bày trên, ta có thể kết luận rằng \( GD = GC \). Điều này hoàn toàn có thể chứng minh chi tiết thông qua phép tính khoảng cách hoặc các tính chất hình học khác trong hình thang.