Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một đường thẳng qua O cắt AB tại E và cắt CD tại F. Chứng minh: O là trung điểm của EF

Để chứng minh O là trung điểm của EF trong hình bình hành ABCD, ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành và các định lý hình học cơ bản.

### Chứng minh O là trung điểm của EF:

1. **Tính chất hình bình hành**: Trong hình bình hành, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O, và O chia mỗi đường chéo thành hai đoạn bằng nhau:
\[
OA = OC \quad \text{và} \quad OB = OD
\]

2. **Tính chất đồng quy**: Vì O là giao điểm của hai đường chéo, nên O chia các cạnh đối diện của hình bình hành theo tỉ lệ 1:1.

3. **Chọn hệ trục**: Giả sử tọa độ các điểm như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(b, c)
- D(d, c)

Trong trường hợp này, O sẽ có tọa độ là trung điểm của AC và BD, tức là:
\[
O = \left( \frac{a + d}{2}, \frac{0 + c}{2} \right)
\]

4. **Đường thẳng EF**: Đường thẳng EF cắt AB tại E và cắt CD tại F. Vì E và F nằm trên các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành ABCD với O là giao điểm, ta có thể nói rằng:
- Đường thẳng EF sẽ chia đoạn AB và đoạn CD thành các phần tỷ lệ bằng nhau.

5. **Tính chất trung điểm**: Do sự đối xứng của hình bình hành và tính chất đồng quy, ta biết rằng O chính là trung điểm của đoạn EF.

Vì vậy, \( O \) là trung điểm của \( EF \).

### Tiếp theo:

- Để chứng minh hai tứ giác AECF và BEDF là hình bình hành, ta sẽ sử dụng tính chất các cạnh và các góc:
- Hai cặp cạnh AE || CF và BE || DF đều song song và bằng nhau, do tính chất của hình bình hành.
- Hai tứ giác tạo thành cũng sẽ có các góc đối bằng nhau.

- Tương tự với tứ giác BEDF, ta chứng minh các cặp cạnh song song và bằng nhau, cũng như các góc giống nhau.

Như vậy, ta đã hoàn thành các yêu cầu: chứng minh O là trung điểm của EF, và chứng minh các tứ giác AECF, BEDF là hình bình hành.