Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh CD lấy điểm F sao cho AE = CF. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: Tứ giác AECF là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \( AECF \) là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau. Ta có:

1. **Chứng minh \( AE = CF \)**:
- Theo giả thiết, ta có \( AE = CF \).

2. **Chứng minh \( AC = EF \)**:
- Ta có \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \).
- Tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành, nên \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm giữa, tức là \( O \) là trung điểm của cả hai đoạn thẳng.
- Do đó \( AO = OC \) và \( BO = OD \).
- Từ đó, ta có thể thấy rằng đoạn thẳng \( EF \) cũng sẽ có \( O \) là trung điểm vì tứ giác được tạo bởi các đoạn \( AE \) và \( CF \) có chiều dài bằng nhau.

3. **Kết hợp**:
- Từ \( AE = CF \) và \( AC = EF \), ta có:
- \( AE + AC = CF + EF \)
- Điều này cho thấy rằng cặp cạnh \( AE \) và \( CF \) bằng nhau, và cặp cạnh \( AC \) và \( EF \) bằng nhau, nên:
- \( AECF \) là hình bình hành.

4. **Chứng minh \( O \) là trung điểm của \( EF \)**:
- Do \( AE = CF \) và \( O \) là giao điểm (tức là điểm giữa của hai đoạn chéo), ta kết luận rằng \( O \) chính là trung điểm của đoạn thẳng \( EF \) vì nó chia mỗi cạnh thành hai phần bằng nhau.

Vậy ta đã chứng minh được \( AECF \) là hình bình hành và điểm \( O \) là trung điểm của \( EF \).