Để chứng minh các tính chất của tam giác và hình thang trong bài toán đã cho, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle AMN \) là tam giác cân:
- **Tam giác cân:** Một tam giác được gọi là cân nếu có ít nhất hai cạnh bằng nhau.

1. **Kí hiệu các điểm:**
- Gọi \( M \) và \( N \) là trung điểm của cạnh \( AC \) và \( AB \) tương ứng.

2. **Vì \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại \( A \) nên:**
- \( AB = AC \).

3. **Từ định nghĩa của trung điểm:**
- \( AM = AN \) vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \) và \( AB \) nên \( AM = \frac{1}{2}AC \) và \( AN = \frac{1}{2}AB \).

4. **Kết luận:**
- Vậy \( AM = AN \), dẫn đến \( \triangle AMN \) là tam giác cân.

### b) Chứng minh tứ giác \( BCMN \) là hình thang cân:
- **Hình thang cân:** Tứ giác có một cặp cạnh song song và hai cạnh bên bằng nhau.

1. **Cạnh song song:**
- Với các đường trung tuyến \( BM \) và \( CN \), ta thấy rằng:
- \( BM || CN \).

2. **Cạnh bên:**
- Cạnh \( BC \) và \( MN \) là hai đoạn vuông góc với các cạnh của tam giác \( ABC \).
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, ta có \( BM = CN \).

3. **Kết luận:**
- Vậy tứ giác \( BCMN \) có hai cạnh song song và cạnh bên bằng nhau, suy ra \( BCMN \) là hình thang cân.

Hy vọng những bước chứng minh trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về tính chất của tam giác và hình thang trong bài toán này!