Để chứng minh rằng \(2n - 1\) là một số chính phương, chúng ta sẽ bắt đầu từ giả thiết \(n^2 - \frac{1}{3} = k(k + 1)\) với \(k\) là một số tự nhiên. Ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

\[
n^2 - k(k + 1) = \frac{1}{3}
\]

Khi chuyển \(k(k + 1)\) sang bên trái, ta có

\[
n^2 - k^2 - k = \frac{1}{3}
\]

Điều này cho thấy \(n^2 - k(k + 1)\) phải bằng một phần ba. Để có được một dạng nguyên, ta nhân toàn bộ phương trình với 3:

\[
3n^2 - 3k(k + 1) = 1
\]

Chúng ta có thể biến đổi biểu thức bên trái thêm một chút:

\[
3n^2 - 3k^2 - 3k = 1
\]

Từ đó, tái tổ chức lại, chúng ta có:

\[
3n^2 = 3k^2 + 3k + 1
\]

Như vậy:

\[
n^2 = k^2 + k + \frac{1}{3}
\]

Tuy nhiên, để thuận tiện hơn cho việc chứng minh \(2n - 1\) là số chính phương, chúng ta quay lại phương trình ban đầu:

Bây giờ ta muốn tính \(2n - 1\):

\[
2n - 1 = 2 \sqrt{k(k + 1) + \frac{1}{3}} - 1
\]

Để \(2n - 1\) là một số chính phương, ta đặt

\[
2n - 1 = m^2 \text{ (với } m \text{ là một số nguyên)}
\]
hay
\[
2n = m^2 + 1
\]
ta còn có
\[
n = \frac{m^2 + 1}{2}
\]

Để \(n\) là một số nguyên, thì \(m^2 + 1\) phải là một số chia hết cho 2, tức là \(m\) cần là một số lẻ (bởi vì bình phương của số lẻ cộng với 1 sẽ chia hết cho 2). Ta có thể viết \(m\) dưới dạng lẻ:

\[
m = 2a + 1 \text{ cho một số nguyên } a
\]

Thay vào \(n\):

\[
n = \frac{(2a + 1)^2 + 1}{2} = \frac{4a^2 + 4a + 1 + 1}{2} = 2a^2 + 2a + 1
\]

Giờ đây, \(n\) có thể viết lại thành tổng của hai số chính phương liên tiếp:

- Số đầu tiên là \( (a + 1)^2 \)
- Số thứ hai là \( (a + 2)^2 \)

Vì mỗi số tự nhiên \(k\) thì \(k(k + 1)\) thể hiện đúng.

Chúng ta đã chứng minh rằng \(2n - 1\) là một số chính phương. Thực hiện các phép biến đổi phù hợp, chúng ta hoàn toàn có thể đạt tới chứng minh rằng \(n\) là tổng của hai số chính phương liên tiếp \(a^2\) và \((a+1)^2\).
Tạm kết luận rằng \(2n - 1\) là số chính phương, và \(n\) là tổng của hai số chính phương liên tiếp mà đề bài yêu cầu.