Để giải bài toán này, ta bắt đầu với các yêu cầu như sau:

### a) Chứng minh \( a \parallel b \)

Trong hình vẽ, ta có các đường thẳng \( m \) và \( n \) vuông góc với nhau tại điểm \( H \). Theo tính chất của các góc đồng vị (hay góc xen kẽ) và tính chất đường thẳng cắt nhau, ta có thể áp dụng định lý về các góc so với hai đường thẳng song song.

Vì \( m \perp a \) và \( m \perp b \), nên \( a \parallel b \).

### b) Tính số đo \( \angle PDC \) và \( \angle nDH \)

Để tính số đo các góc này, ta biết rằng \( \angle DCI = 60^\circ \). Do đó,

- \( \angle PDC = \angle DCI = 60^\circ \) (góc đồng vị).

- \( \angle nDH = 90^\circ - \angle DCI = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \) (góc bổ sung).

### c) Gọi \( D_x \) và \( C_y \) là tia phân giác của góc \( HDC \) và góc \( ICK \). Chứng minh \( D_x \parallel C_y \)

Ta biết rằng \( D_x \) và \( C_y \) là tia phân giác của các góc \( HDC \) và \( ICK \).

Để chứng minh \( D_x \parallel C_y \), ta sử dụng tính chất tia phân giác trong tam giác. Khi hai tia phân giác tạo góc với nhau đồng thời với các góc đã cho trong tam giác là \( 60^\circ \) và \( 30^\circ \) thì \( D_x \parallel C_y \) do tính chất rằng các góc tạo thành là tương ứng.

Kết luận, ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu trong bài toán.