Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( 13 \) chia hết cho \( x \) và \( 113 \) chia hết cho \( x + 1 \).

1. **Điều kiện 1: \( 13 \div x \) chia hết**
Điều này có nghĩa là \( x \) phải là một ước của \( 13 \). Các ước của \( 13 \) là \( 1 \) và \( 13 \).

2. **Điều kiện 2: \( 113 \div (x + 1) \) chia hết**
Tương tự, \( x + 1 \) phải là một ước của \( 113 \). Các ước của \( 113 \) là \( 1 \) và \( 113 \).

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét cả hai điều kiện:

- Nếu \( x = 1 \):
\( x + 1 = 2 \)
\( 2 \) không phải là ước của \( 113 \) (vì \( 113 \) là số lẻ).

- Nếu \( x = 13 \):
\( x + 1 = 14 \)
\( 14 \) cũng không phải là ước của \( 113 \).

Với \( x = 1 \) và \( x = 13 \), không có giá trị nào thỏa mãn cả hai điều kiện.

Vậy, ta sẽ kiểm tra một số giá trị tự nhiên khác:

- Nếu \( x = 2 \):
\( x + 1 = 3 \) => \( 113 \) không chia hết cho \( 3 \).

- Nếu \( x = 3 \):
\( x + 1 = 4 \) => \( 113 \) không chia hết cho \( 4 \).

- Nếu \( x = 4 \):
\( x + 1 = 5 \) => \( 113 \) không chia hết cho \( 5 \).

- Nếu \( x = 5 \):
\( x + 1 = 6 \) => \( 113 \) không chia hết cho \( 6 \).

- Nếu \( x = 6 \):
\( x + 1 = 7 \) => \( 113 \) chia hết cho \( 7 \) (vì \( 113 \div 7 \approx 16.14 \), không phải là số nguyên).

- Nếu \( x = 7 \):
\( x + 1 = 8 \) => \( 113 \) không chia hết cho \( 8 \).

- Nếu \( x = 8 \):
\( x + 1 = 9 \) => \( 113 \) không chia hết cho \( 9 \).

- Nếu \( x = 9 \):
\( x + 1 = 10 \) => \( 113 \) không chia hết cho \( 10 \).

- Nếu \( x = 10 \):
\( x + 1 = 11 \) => \( 113 \) chia hết cho \( 11 \) (vì \( 113 \div 11 \approx 10.27 \), không phải số nguyên).

- Nếu \( x = 11 \):
\( x + 1 = 12 \) => \( 113 \) không chia hết cho \( 12 \).

- Nếu \( x = 12 \):
\( x + 1 = 13 \) => \( 113 \) không chia hết cho \( 13 \).

Dựa vào các giá trị trên, chúng ta nhận thấy rằng không có giá trị nào của \( x \) khớp với yêu cầu \( 13 \) chia hết cho \( x \) và \( 113 \) chia hết cho \( x + 1 \).

**Kết luận:**
Không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn cả hai điều kiện được đưa ra.