Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần từng bước.

### Phần a: Chứng minh rằng \(A'D = A'E\)

1. **Giả thiết bài toán:** Gọi \(I\) là giao điểm của các đường phân giác của tam giác \(ABC\), và \(M\) là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Gọi \(A', B', C'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua các đường phân giác \(AI, BI, CI\) tương ứng. \(D\) và \(E\) là các điểm đối xứng của \(M\) qua các cạnh \(AB\) và \(AC\).

2. **Tính chất đối xứng:** Do \(D\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(AB\), nên \(AB\) là trung trực của đoạn thẳng \(MD\). Tương tự, \(E\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(AC\) nên \(AC\) là trung trực của đoạn thẳng \(ME\).

3. **Chứng minh đoạn thẳng:** Đặt \(MS\) là đường vuông góc với \(AB\) tại \(S\), và \(MT\) là đường vuông góc với \(AC\) tại \(T\). Ta cần chứng minh rằng \(A'D\) vuông góc với \(A'E\).

- Gọi \(S\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AB\) và \(T\) là hình chiếu của \(M\) trên \(AC\).

- Suy ra, góc \(A'MD = \angle A + \angle MSB\) và góc \(A'ME = \angle A + \angle MTC\).

- Từ đó, có \(A'D \parallel A'E\) vì \(AB\) và \(AC\) cắt nhau tại \(A\).

4. **Kết luận:** Vậy, \(A'D\) và \(A'E\) là hai đoạn thẳng chéo nhau tại \(M\) và từ tính chất đối xứng, ta có thể khẳng định rằng \(A'D = A'E\).

### Phần b: Chứng minh rằng \(AA', BB', CC'\) đồng quy

1. **Tính chất giao điểm:** Để chứng minh ba đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) đồng quy, ta có thể sử dụng tính chất đồng quy của tam giác.

2. **Hình chiếu:** Do \(A'\) là điểm đối xứng qua đường phân giác \(AI\), mang tính chất phản xứng, tức là mọi đoạn thẳng từ \(A\) qua \(A'\) sẽ cắt đường phân giác.

3. **Sử dụng phương trình đường thẳng:**
- Ta gọi các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) và các điểm tới từ hình chiếu sẽ có cùng hướng.

4. **Phân tích phương trình:**
- Sử dụng các điểm \(D\) và \(E\) trong phần a, ta sẽ có:
\[
\angle IMA' = \angle IAC + \angle IAB
\]
- Tương tự cho các góc khác. Từ đó suy ra rằng đường thẳng đồng quy tại một điểm trong tam giác.

### Kết luận

Do sự cân bằng của hình chiếu và tính chất đồng quy của các điểm, ta khẳng định rằng ba đường thẳng \(AA', BB', CC'\) thật sự đồng quy tại một điểm. Bằng chứng là các đường thẳng này cắt nhau tại điểm đồng quy của tam giác nội tiếp hình chữ nhật với các cạnh là \(IA', IB', IC'\).