Để tìm giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\) sao cho ba tập hợp \(A\), \(B\), và \(C\) bằng nhau, ta bắt đầu từ các tập hợp đã cho.

1. **Tập hợp \(A = \{5, 9, z\}\)**
2. **Tập hợp \(B = \{5, x, z\}\)**
3. **Tập hợp \(C = \{0, y, 5\}\)**

Để ba tập hợp này bằng nhau, chúng ta cần kiểm tra các phần tử của từng tập hợp:

- **Phần tử 5**: Có trong cả ba tập hợp.
- **Phần tử 0**: Chỉ có trong tập C, vì vậy để \(A\) và \(B\) có phần tử này, chúng ta cần cho \(0\) vào \(A\) và \(B\).
- **Phần tử 9**: Có trong \(A\), nhưng không có trong \(B\) và \(C\), nên không thể có trong ba tập.

Từ tập hợp \(C\), để các tập hợp bằng nhau, ta cần \(y = 9\) và \(z = 0\). Từ đó, \(x\) cũng cần phải bằng \(9\) (để thỏa mãn tập hợp \(B\)).

Vậy:

- \(x = 9\)
- \(y = 9\)
- \(z = 0\)

Tóm lại, ta có:

\[
x = 9, \quad y = 9, \quad z = 0
\]