Để giải bài toán, ta sẽ xem xét các điều kiện mà bạn đã đề cập.

Ta có 2 điều kiện:
1. \( (x + 6) \) chia hết cho \( (x + 2)(x + 6) \)
2. \( (x + 6) \) chia hết cho \( (x + 2) \)

### Phân tích điều kiện thứ nhất:

Điều kiện \( (x + 6) \) chia hết cho \( (x + 2)(x + 6) \) có thể được hiểu là \( \frac{(x + 6)}{(x + 2)(x + 6)} \) phải là một số nguyên. Tuy nhiên, \( x + 6 \) không thể chia hết cho \( (x + 2)(x + 6) \) nếu \( x + 6 \neq 0 \) vì khi đó ước số \( (x + 6) \) sẽ bị chia cho chính nó.

Khi \( x + 6 \neq 0 \):
\[
\frac{(x + 6)}{(x + 2)(x + 6)} = \frac{1}{(x + 2)} \quad \text{(điều này không phải luôn đúng)}
\]
Vì vậy điều kiện này không có ý nghĩa, chúng ta sẽ xem xét điều kiện thứ hai.

### Phân tích điều kiện thứ hai:

Điều kiện \( (x + 6) \) chia hết cho \( (x + 2) \) tức là \( (x + 6) \mod (x + 2) = 0 \).

Ta có:
\[
x + 6 = k(x + 2)
\]
cho một số nguyên \( k \).

Chia \( x + 6 \) cho \( x + 2 \):
\[
x + 6 = (x + 2) + 4
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
4 \mod (x + 2) = 0
\]
Tức là \( x + 2 \) phải là ước số của 4. Các ước số của 4 là \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

### Giải phương trình:

1. \( x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1 \)
2. \( x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3 \)
3. \( x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0 \)
4. \( x + 2 = -2 \Rightarrow x = -4 \)
5. \( x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2 \)
6. \( x + 2 = -4 \Rightarrow x = -6 \)

### Kết luận:

Các giá trị của \( x \) thỏa mãn hai điều kiện là:
\[
x = -1, -3, 0, -4, 2, -6
\]
Hy vọng điều này giúp ích cho bạn!