Để chứng minh các phần của bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học liên quan đến tam giác vuông và tam giác vuông cân. Dưới đây là hướng dẫn cho từng phần:

**a) Chứng minh \( BH = AK \)**

1. Trong tam giác \( \triangle ABC \) vuông cân tại \( A \), do đó \( AB = AC \).
2. \( M \) là trung điểm của \( BC \), từ đó suy ra \( BM = MC \).
3. Xét tam giác \( \triangle BMH \) và \( \triangle AKM \):
- Có \( BM = MC \) (vì \( M \) là trung điểm).
- \( BH \) vuông góc với \( AE \), \( AK \) vuông góc với \( AE \).
- Do đó, \( \triangle BMH \cong \triangle AKM \) (cả 2 tam giác đều vuông và có 2 cạnh tương ứng bằng nhau).
4. Từ đó suy ra \( BH = AK \).

**b) Chứng minh \( \triangle HBM = \triangle KAM \)**

1. Như đã chứng minh ở trên, \( BM = MC \) và \( BH \) vuông góc với \( AE \), \( AK \) cũng vuông góc với \( AE \).
2. Nên \( \triangle HBM \cong \triangle KAM \) theo tiêu chí cạnh - góc - cạnh (cạnh huyền và một cạnh).

**c) Chứng minh \( \triangle MHK \) vuông cân**

1. Xét các góc tại \( H \) và \( K \):
- Vì \( BH \perp AE \) và \( AK \perp AE \), nên \( \angle MHK = \angle MKA = 90^\circ \).
2. Do đó \( \triangle MHK \) có hai cạnh bằng nhau (cạnh huyền), nên nó vuông cân.

Kết luận, các phần được chứng minh như yêu cầu.