Để tìm các số nguyên \(x\) và \(y\) thỏa mãn các phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### a) \((x+1)(y-2) - 3 = 0\)

Ta biến đổi phương trình này:

\[
(x+1)(y-2) = 3
\]

Ta có một số cách để tìm các cặp số nguyên \( (x+1, y-2) \) sao cho tích của chúng bằng 3. Các cặp số nguyên có thể là:

1. \((1, 3)\) => \(x+1 = 1, y-2 = 3\) ⇒ \(x = 0, y = 5\)
2. \((3, 1)\) => \(x+1 = 3, y-2 = 1\) ⇒ \(x = 2, y = 3\)
3. \((-1, -3)\) => \(x+1 = -1, y-2 = -3\) ⇒ \(x = -2, y = -1\)
4. \((-3, -1)\) => \(x+1 = -3, y-2 = -1\) ⇒ \(x = -4, y = 1\)

Vậy nghiệm của phương trình a) là:
\[
(x, y) = (0, 5), (2, 3), (-2, -1), (-4, 1)
\]

### b) \(xy - 2x + y + 3 = 0\)

Ta nhóm lại và biến đổi phương trình này:

\[
xy - 2x + y + 3 = 0 \implies y(x + 1) = 2x - 3
\]

Suy ra:

\[
y = \frac{2x - 3}{x + 1}
\]

Để \(y\) là số nguyên, \(2x - 3\) phải chia hết cho \(x + 1\). Ta sẽ tìm giá trị của \(x\) sao cho điều này xảy ra.

Thử với vài giá trị của \(x\):

1. \(x = 0\): \(y = \frac{-3}{1} = -3\) ⇒ Nghiệm: \((0, -3)\)
2. \(x = 1\): \(y = \frac{-1}{2} \) ⇒ không phải là số nguyên.
3. \(x = 2\): \(y = \frac{1}{3} \) ⇒ không phải là số nguyên.
4. \(x = 3\): \(y = \frac{3}{4} \) ⇒ không phải là số nguyên.
5. \(x = -1\): \(y = \frac{-5}{0}\) ⇒ không xác định.
6. \(x = -2\): \(y = \frac{-7}{-1} = 7\) ⇒ Nghiệm: \((-2, 7)\)
7. \(x = -3\): Nghiệm: \((-3, 6)\).

Tóm lại, nghiệm của phương trình b) là:
\[
(0, -3), (-2, 7), (-3, 6)
\]

### c) \(x^2 + xy - 5y - 12 = 0\)

Ta muốn giải phương trình này với \(x\):

\[
x^2 + xy - 5y - 12 = 0
\]

Đây là phương trình bậc hai theo \(x\):

\[
x^2 + (y)x + (-5y - 12) = 0
\]

Áp dụng điều kiện delta không âm để phương trình này có nghiệm:

\[
D = y^2 + 4(5y + 12) = y^2 + 20y + 48 \geq 0
\]

Giải bất phương trình:

\[
D = (y + 10)^2 - 52 \geq 0
\]

Giải:

\[
(y + 10)^2 \geq 52 \implies y + 10 \leq -\sqrt{52} \quad \text{hoặc} \quad y + 10 \geq \sqrt{52}
\]

Tính toán giá trị này sẽ cho ra các giá trị của \(y\). Ta tìm nghiệm cụ thể hơn cho các giá trị nguyên:

Giả sử \(y = -11\): \(D = 1\) ⇒ \(x = -1\) thì nghiệm \((-1, -11)\)

Giả sử \(y = -9\): \(D = 1\) ⇒ \(x = -1\) thì nghiệm \((-1, -9)\)

Giả sử \(y = -5\): \(D = 1\) thì nghiệm cũng sẽ có.

### Kết luận:

1. Nghiệm cho a): \((x, y) = (0, 5), (2, 3), (-2, -1), (-4, 1)\)
2. Nghiệm cho b): \((0, -3), (-2, 7), (-3, 6)\)
3. Nghiệm cho c): Cần xác định các giá trị của \(y\) cụ thể hơn nhưng ta có một số nghiệm như \((-1, y)\) và nhiều giá trị khác theo điều kiện \(D\).

Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc kiểm tra nghiệm cụ thể nào, hãy cho mình biết!