Để tính giới hạn sau:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + 4 + 7 + \ldots + (3n + 1)}}{2n^2 + \sqrt{n^4 + 2n + 1}}
\]

Đầu tiên, ta xem xét tổng \(1 + 4 + 7 + \ldots + (3n + 1)\). Đây là một chuỗi số hạng bậc 3, có thể được viết dưới dạng:

\[
S_n = 1 + 4 + 7 + \ldots + (3n + 1) = \sum_{k=0}^{n} (3k + 1)
\]

Tính tổng này:

\[
S_n = \sum_{k=0}^{n} 3k + \sum_{k=0}^{n} 1 = 3 \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right) + (n + 1) = \frac{3n(n + 1)}{2} + (n + 1) = \frac{3n^2 + 3n + 2n + 2}{2} = \frac{3n^2 + 5n + 2}{2}
\]

Vậy ta có:

\[
S_n = \frac{3n^2 + 5n + 2}{2}
\]

Tiếp theo, ta tính căn bậc hai:

\[
\sqrt{S_n} = \sqrt{\frac{3n^2 + 5n + 2}{2}} = \frac{\sqrt{3n^2 + 5n + 2}}{\sqrt{2}}
\]

Khi \(n \to \infty\), \(\sqrt{3n^2 + 5n + 2} \sim \sqrt{3}n\). Do đó:

\[
\sqrt{S_n} \sim \frac{\sqrt{3}n}{\sqrt{2}}
\]

Bây giờ xem xét mẫu:

\[
2n^2 + \sqrt{n^4 + 2n + 1}
\]

Khi \(n \to \infty\), ta có:

\[
\sqrt{n^4 + 2n + 1} \sim n^2
\]

Vậy mẫu trở thành:

\[
2n^2 + \sqrt{n^4 + 2n + 1} \sim 2n^2 + n^2 = 3n^2
\]

Bây giờ ta kết hợp các kết quả để tính giới hạn:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{S_n}}{2n^2 + \sqrt{n^4 + 2n + 1}} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} n}{3n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3n} = 0
\]

Vậy giới hạn là:

\[
\boxed{0}
\]