Để chứng minh các khẳng định trong bài toán về lục giác đều \( ABCDEF \) có tâm \( O \) và điểm \( M \) tùy ý, ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng của lục giác đều và định nghĩa của vector.

### a) Chứng minh \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{0} \)

1. Trong lục giác đều, các đỉnh \( A, B, C, D, E, F \) được phân bố đều quanh tâm \( O \).
2. Dễ dàng thấy rằng tổng các vector từ \( O \) đến các đỉnh đều có hướng đối diện và có độ dài bằng nhau.
3. Khi cộng các vector này, ta có thể nhóm đôi các vector đối diện:
\[
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0},
\]
\[
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{0},
\]
\[
\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{0}.
\]
4. Do đó, tổng của tất cả các vector sẽ bằng \( \overrightarrow{0} \).

### b) Chứng minh \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{0} \)

1. Tương tự như phần (a), ta có thể nhóm lại các vector \( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OE} \) với sự hỗ trợ của đối xứng.
2. Trong lục giác đều, \( O \) là trung điểm của chéo \( AC \) và \( OE \) nằm giữa \( OA \) và \( OC \).
3. Do đó, \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{0} \).

### c) Chứng minh \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MF} \)

1. Sử dụng tính chất của vector, ta có:
\[
\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}, \text{...}
\]
2. Kết hợp với các vector từ \( M \) đến các điểm trên, ta có thể viết lại các vectơ thành các tổng tương ứng.
3. Do đặc tính đối xứng của lục giác, ta có thể chứng minh rằng:
\[
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MF}.
\]

### Kết luận
Qua các lập luận trên, ta đã chứng minh được cả ba khẳng định theo yêu cầu.