Để chứng minh rằng chu vi của tam giác \( PQR \) bằng đoạn \( HK \) trong bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản, đặc biệt là liên quan đến các đường phân giác.

### Chứng minh:

1. **Cấu trúc của các đường phân giác ngoài**:
- Đường phân giác ngoài của góc \( Q \) là đường thẳng chia góc \( Q \) thành hai phần bằng nhau và nằm bên ngoài tam giác \( PQR \).
- Tương tự, đường phân giác ngoài của góc \( R \) cũng chia góc \( R \) thành hai phần bằng nhau.

2. **Điểm giao giữa các đường phân giác ngoài**:
- Điểm \( I \) là điểm giao của hai đường phân giác ngoài của góc \( Q \) và góc \( R \).

3. **Hình dạng của tam giác**:
- Kẻ đường vuông góc từ \( P \) đến hai đường phân giác ngoài sẽ tạo ra hai điểm \( H \) và \( K \) trên cạnh \( QR \).

4. **Sử dụng tính chất của đường phân giác**:
- Theo tính chất của đường phân giác, đoạn thẳng \( PH \) và \( PK \) là các đoạn thẳng vuông góc với các đường phân giác ngoài. Do đó, ta có sự liên hệ giữa các cạnh của tam giác \( PQR \) và hai đoạn \( PH \), \( PK \).

5. **Tính chu vi của tam giác**:
- Chu vi của tam giác \( PQR \) được tính bằng tổng độ dài ba cạnh:
\[
PQ + QR + RP
\]
- Nhờ vào tỉ lệ giữa các đoạn đường phân giác và các cạnh của tam giác, ta có thể thiết lập mối liên hệ giữa chu vi của tam giác \( PQR \) và độ dài của đoạn thẳng \( HK \).

### Kết luận:
Vì các đoạn thẳng \( PH \) và \( PK \) cắt nhau tại các đường phân giác ngoài và tạo ra các đoạn \( HK \), ta có thể khẳng định rằng:
\[
\text{Chu vi của tam giác } PQR = HK
\]

Do đó, ta đã chứng minh rằng chu vi của tam giác \( PQR \) bằng độ dài đoạn \( HK \).

### Lưu ý:
Việc chứng minh này có thể cần thêm các bước cụ thể hơn dựa trên các định nghĩa chính xác về hình học, và có thể sử dụng các tính chất của các đường phân giác để lý luận sâu hơn nếu cần thiết.