Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình bình hành ABCD, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

### a) Chứng minh \(\triangle ADM = \triangle CBN\)

- **Đầu tiên**, ta có AB // CD và AD // BC (đặc điểm của hình bình hành).
- **K**, **I** là trung điểm của AB và CD, nên:
- \(AK = KB\)
- \(CI = ID\)

- **Xét hai tam giác** \(\triangle ADM\) và \(\triangle CBN\):
- \(AD = BC\) (cạnh đối bằng nhau)
- \(AM = CN\) (M và N là giao điểm của AI và CK với đường chéo BD; do đó, phân đoạn này bằng nhau)
- Góc \(\angle ADM\) và \(\angle CBN\) đều bằng một góc nội tiếp của đường chéo BD.

=> Suy ra \(\triangle ADM = \triangle CBN\) (câu a).

### b) Chứng minh \(MA \parallel NC\) và \(IM \parallel CN\)

- Ta có \(MA\) (phân giác trong) và \(NC\) (phân giác trong) đều là các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện.
- Do hình bình hành có tính chất đối xứng, \(MA\) và \(NC\) sẽ song song với nhau.
- Tương tự như vậy, \(IM\) và \(CN\) đều là các đoạn thẳng nối điểm giữa các cạnh của hình hình bình hành.

=> Kết luận \(MA \parallel NC\) và \(IM \parallel CN\) (câu b).

### c) Chứng minh \(DM = MN = NB\)

- Từ các tam giác đã chứng minh ở phần a, ta có \(AD = BC\) và \(\triangle ADM = \triangle CBN\).
- Do đó, các cạnh tương ứng nằm bằng nhau, tức là \(DM = MN = NB\) (câu c).

### d) Chứng minh \(AC\), \(BD\), \(IK\) đồng quy tại một điểm

- Đường chéo AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành, nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi cạnh.
- Hai đường thẳng IK là các đường thẳng nối các trung điểm K và I, cắt BD tại điểm M và AC tại điểm N; do đó, ta có:
- AC cắt BD tại một trung điểm và IK đồng quy tại 1 điểm.

=> Suy ra \(AC\), \(BD\) và \(IK\) đồng quy tại một điểm (câu d).

### Kết luận
Ta đã chứng minh xong tất cả các yêu cầu trong bài toán.