Để tính giá trị của biểu thức \( A = a^2 + b \), trước tiên ta cần giải quyết giới hạn đưa ra trong câu hỏi:

\[
\lim_{n \to \infty} \left[ \sqrt{n \cdot 9n^2 + 3 - \sqrt{9n^2 + 2}} \cdot \frac{a}{b} \right]
\]

Khi \(n\) tiến tới vô cùng, ta có thể đơn giản hóa biểu thức bên trong giới hạn.

1. **Phân tích từng phần:**
- Giả sử \(n\) lớn, ta có:
\[
\sqrt{9n^2 + 3} \approx \sqrt{9n^2} = 3n
\]
- Vậy \(\sqrt{n \cdot 9n^2 + 3 - \sqrt{9n^2 + 2}} \approx \sqrt{n \cdot 9n^2 + 3 - 3n} \approx \sqrt{9n^3}\).

2. **Giới hạn:**
\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt{n \cdot 9n^2 + 3 - 3n} \approx \lim_{n \to \infty} \sqrt{9n^3} = 3n^{3/2}
\]

3. **Lưu ý rằng \(\frac{a}{b}\) là phần số tối giản:**
Ta có thể ký hiệu \(\frac{a}{b} = k\) với \(k\) là một hằng số.

Từ đây, ta có thể thay vào biểu thức \(A\):

\[
A = a^2 + b = b \left( \left( \frac{a}{b} \right)^2 + 1 \right) = b \left( k^2 + 1 \right)
\]

4. **Giá trị cuối cùng:**
Nếu \(b\) là phần số tối giản, ta có thể chọn \(b\) sao cho \(b (k^2 + 1)\) rơi vào các giá trị lựa chọn. Do đó, ta cần thêm thông tin về \(a\) và \(b\) để xác định rõ giá trị của \(A\).

Tựu trung lại, bạn cần rõ hơn về các thông tin liên quan đến \(a\) và \(b\) để tìm giá trị chính xác cho \(A\).