Để chứng minh các đẳng thức trong bài, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần 1: Chứng minh \( n(n+1)(2n+1) \equiv 0 \mod 6 \)

Ta có ba trường hợp cho \( n \) dựa trên tính chất chia hết cho 2 và 3.

1. **Khi n chẵn**: Gọi \( n = 2k \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)):
\[
n(n+1)(2n+1) = (2k)(2k+1)(4k+1)
\]
Trong trường hợp này, \( n \) chẵn nên \( n(n+1) \) sẽ chia hết cho 2. Hơn nữa, \( n+1 \) là số lẻ, sẽ có ít nhất một trong số \( 2k, 2k+1 \) chia hết cho 3 vì có 3 số liên tiếp \( 2k, 2k+1, 2k+2 \).

2. **Khi n lẻ**: Gọi \( n = 2k + 1 \):
\[
n(n+1)(2n+1) = (2k+1)(2k+2)(4k+3)
\]
Ở đây, \( n+1 \) sẽ là chẵn và chia hết cho 2. Tương tự, trong ba số \( 2k+1, 2k+2, 2k+3 \), sẽ có ít nhất một số chia hết cho 3.

Kết luận: \( n(n+1)(2n+1) \) chia hết cho 6 với mọi \( n \in \mathbb{Z} \).

### Phần 2: Chứng minh \( \frac{n^5}{5} + \frac{n^3}{3} + \frac{7n}{15} \) là số nguyên với mọi \( n \in \mathbb{Z} \)

Ta sẽ bắt đầu bằng cách đưa về một mẫu số chung:
\[
\frac{n^5}{5} + \frac{n^3}{3} + \frac{7n}{15} = \frac{3n^5}{15} + \frac{5n^3}{15} + \frac{7n}{15} = \frac{3n^5 + 5n^3 + 7n}{15}
\]

Tiếp theo, để chứng minh biểu thức \( 3n^5 + 5n^3 + 7n \) chia hết cho 15, ta cần chứng minh nó chia hết cho cả 3 và 5.

1. **Chia hết cho 3**: Ta kiểm tra từng trường hợp \( n \mod 3 \):
- \( n \equiv 0 \): \( 3n^5 + 5n^3 + 7n \equiv 0 \mod 3 \)
- \( n \equiv 1 \): \( 3(1) + 5(1) + 7(1) \equiv 15 \equiv 0 \mod 3 \)
- \( n \equiv 2 \): \( 3(2^5) + 5(2^3) + 7(2) = 3(32) + 5(8) + 14 \equiv 0 \mod 3 \)

Do đó, \( 3n^5 + 5n^3 + 7n \equiv 0 \mod 3 \).

2. **Chia hết cho 5**: Ta kiểm tra từng trường hợp \( n \mod 5 \):
- Tương tự, kiểm tra cho các giá trị \( n \equiv 0, 1, 2, 3, 4 \):
- Tất cả các trường hợp đều cho kết quả chia hết cho 5.

Kết luận: \( \frac{3n^5 + 5n^3 + 7n}{15} \) là số nguyên với mọi \( n \in \mathbb{Z} \).

### Kết luận

Ta đã chứng minh được hai điều theo yêu cầu.