Để chứng minh rằng \((n + 3)^2 - (n - 1)^2\) chia hết cho 8 với mọi số nguyên \(n\), ta sẽ bắt đầu với việc sử dụng công thức hạ bậc bình phương:

\[
(n + 3)^2 - (n - 1)^2 = [(n + 3) - (n - 1)][(n + 3) + (n - 1)]
\]

Tính toán các biểu thức trong dấu ngoặc:

1. \((n + 3) - (n - 1) = n + 3 - n + 1 = 4\)
2. \((n + 3) + (n - 1) = n + 3 + n - 1 = 2n + 2 = 2(n + 1)\)

Do đó, chúng ta có:

\[
(n + 3)^2 - (n - 1)^2 = 4 \cdot 2(n + 1) = 8(n + 1)
\]

Vì \(8(n + 1)\) rõ ràng chia hết cho 8 với mọi số nguyên \(n\), ta kết luận rằng:

\[
(n + 3)^2 - (n - 1)^2 \text{ chia hết cho } 8 \text{ với mọi số nguyên } n.
\]

Vậy là điều cần chứng minh đã hoàn thành.