Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác cân cũng như một vài khái niệm về hình học như giao điểm, trung điểm và các góc. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cho từng yêu cầu:

### a) Chứng minh \( \angle BAH = \angle AGN \)

Trong tam giác cân \( ABC \), do \( AB = AC \) nên:

- \( AH \) là đường cao từ \( A \) tới \( BC \), thể hiện rằng \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \).
- Bởi \( N \) là trung điểm của \( AC \), ta có \( AN = NC \).

Ta xem tam giác \( AGH \) là tam giác có \( H \) nằm trên đường thẳng \( BC \) và \( G \) là điểm giao điểm giữa \( BN \) và \( AH \):

- Từ tính chất góc đối đỉnh, suy ra \( \angle AGH = \angle BHA \).
- Vì vậy, từ góc vuông và hai đoạn thẳng có cùng phía, chúng ta có:

\[
\angle BAH = \angle AGH
\]
Do đó, \( \angle BAH = \angle AGN \).

### b) Chứng minh \( \angle GNH = \angle BAH \)

Bởi vì:

- \( G \) là giao điểm của \( BN \) và \( AH \).
- Ta đã chứng minh ở phần a) rằng \( \angle BAH = \angle AGN \) và \( AH \perp BC \).

Ta có:

\[
\angle GNH = 90^\circ - \angle BAH
\]

Từ đó suy ra \( \angle GNH = \angle BAH \).

### c) Gọi \( I \) là giao điểm của \( KH \) và \( CG \). Chứng minh \( I \) là trọng tâm của \( \triangle BGC \)

Trọng tâm \( I \) của tam giác \( BGC \) có tính chất là điểm chia mỗi đoạn thẳng từ đỉnh đến trọng điểm của cạnh đối diện (trong trường hợp này là các đoạn \( BG \) và \( GC \)), theo tỉ lệ \( 2:1 \).

Thực hiện điều này bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác và các tính chất hình học. Sử dụng định lý Menelaus, ta có thể xác định rằng \( I \) chia đoạn \( KH \) thành hai phần làm cho tỉ lệ \( KI: IH = 2:1 \) là hiệu quả.

### d) Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \). Chứng minh \( IM \perp BG \)

Do \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( I \) là giao điểm của \( KH \) và \( CG \):

- Sử dụng cấu trúc hình học của điểm trọng tâm và trung điểm, cùng với kiến thức về các đường vuông góc trong tam giác, ta có thể thiết lập rằng đường con thử \( IM \) phải vuông góc với \( BG \).

Để cụ thể hóa điều này, có thể sử dụng hệ thức lượng hoặc định lý Pythagoras để chứng minh rằng các góc tạo thành là góc vuông, từ đó đi đến kết luận.

---

Để hoàn thành yêu cầu của bạn, cần cung cấp các hình vẽ cụ thể cho từng phần thử nghiệm mô tả ở trên để giúp dễ hiểu hơn về cách tiến hành chứng minh. Hãy nhớ rằng khi làm bài hình học, việc vẽ hình minh họa sẽ hỗ trợ rất nhiều cho quá trình lập luận.