Để chứng minh \( 38^{101} + 2 \) chia hết cho 5, ta sẽ xét \( 38 \) modulo \( 5 \).

Trước tiên, ta giảm \( 38 \) modulo \( 5 \):
\[
38 \div 5 = 7 \quad \text{và} \quad 38 \mod 5 = 3
\]
Vậy \( 38 \equiv 3 \mod 5 \).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( 38 \) bằng \( 3 \) trong biểu thức \( 38^{101} + 2 \):
\[
38^{101} + 2 \equiv 3^{101} + 2 \mod 5
\]

Tiếp theo, để tính giá trị của \( 3^{101} \mod 5 \), ta sử dụng định lý Fermat. Theo định lý này, nếu \( p \) là số nguyên tố khác \( 3 \), thì:
\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]
Đối với \( p = 5 \) và \( a = 3 \), ta có:
\[
3^{4} \equiv 1 \mod 5
\]
Do đó, \( 3^{101} \) có thể được tính bằng cách chia \( 101 \) cho \( 4 \):
\[
101 \div 4 = 25 \quad \text{và dư} \quad 1
\]
Vậy:
\[
101 \equiv 1 \mod 4
\]
Do đó:
\[
3^{101} \equiv 3^1 \equiv 3 \mod 5
\]

Quay lại biểu thức ban đầu:
\[
3^{101} + 2 \equiv 3 + 2 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5
\]

Như vậy, \( 38^{101} + 2 \) chia hết cho \( 5 \).

Vậy ta có thể kết luận:
\[
38^{101} + 2 \text{ chia hết cho } 5
\]