a] Tính tổng của dãy số \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \ldots + \frac{1}{1024} \).

Ta có thể nhận ra rằng dãy số này là một chuỗi hình học với:

- Tầng số đầu tiên \( a = \frac{1}{2} \)
- Tỉ số \( r = \frac{1}{2} \)

Ta cần tìm số hạng cuối cùng \( n \) cho \( \frac{1}{1024} \). Từ \( \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1024} \), suy ra \( 2^n = 1024 \), tức là \( n = 10 \).

Số hạng cuối cùng là \( \frac{1}{1024} \) và tổng của n số hạng nguyên là:

\[
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Với \( n = 10 \):

\[
S_{10} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}
\]

Vậy kết quả cho phần a là:

\[
\frac{1023}{1024}
\]

b] Tính tổng của dãy số \( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{9 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 11} \).

Ta có công thức tổng quát cho số hạng \( \frac{1}{n(n + 1)} \):

\[
\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}
\]

Do đó, tổng từ \( n = 1 \) đến \( 10 \):

\[
\sum_{n=1}^{10} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)
\]

Tổng này sẽ là một chuỗi đối ngẫu và dẫn đến:

\[
\left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) = 1 - \frac{1}{11}
\]

Vậy tổng là:

\[
1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}
\]

Vậy kết quả cho phần b là:

\[
\frac{10}{11}
\]

Kết quả cuối cùng là:

a] \( \frac{1023}{1024} \)

b] \( \frac{10}{11} \)