Tìm số tự nhiên a sao cho:

Để tìm số tự nhiên \( a \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ xem xét từng điều kiện một.

### a) \( \frac{a^2 + 3a + 12}{a + 1} \) chia hết
Ta sẽ sử dụng định lý phần dư, tức là tìm phần dư của \( a^2 + 3a + 12 \) khi chia cho \( a + 1 \).

Áp dụng định lý phần dư, phần dư khi chia cho \( a + 1 \) là \( P(-1) \) với \( P(x) = a^2 + 3a + 12 \):
\[
P(-1) = (-1)^2 + 3(-1) + 12 = 1 - 3 + 12 = 10
\]
Để \( P(a) \) chia hết cho \( a + 1 \), ta cần \( P(-1) = 0 \). Do đó, ta không thể tìm được \( a \) mà \( P(-1) = 0 \), và điều kiện không thỏa mãn.

### b) \( \frac{2a^2 + 10a + 51}{a + 2} \) chia hết
Tương tự như trên, ta sẽ tính phần dư khi chia \( 2a^2 + 10a + 51 \) cho \( a + 2 \):
\[
P(-2) = 2(-2)^2 + 10(-2) + 51 = 2 \cdot 4 - 20 + 51 = 8 - 20 + 51 = 39
\]
Để \( P(a) \) chia hết cho \( a + 2 \), ta cần \( P(-2) = 0 \). Điều này cũng không thỏa mãn.

### c) \( \frac{a + 5}{a^2 + 1} \) chia hết
Để \( a^2 + 1 \) chia hết cho \( a + 5 \), tìm phần dư bằng cách thay \( -5 \) vào biểu thức:
\[
P(-5) = (-5)^2 + 1 = 25 + 1 = 26
\]
Điều này không chia hết cho \( a + 5 \) vì \( 26 \neq 0 \).

### Kết luận
Sau khi phân tích từng điều kiện, chúng ta không tìm được số tự nhiên \( a \) nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.