Để giải bài toán này, ta có công thức

\[
A = \frac{12n}{3n + 2}.
\]

a) Để \( A \) là một phân số, điều kiện là mẫu \( 3n + 2 \) khác 0:

\[
3n + 2 \neq 0 \implies n \neq -\frac{2}{3}.
\]

Vì \( n \) là số tự nhiên, điều này luôn đúng.

b) Để \( A \) là một số nguyên, \( A \) phải có dạng:

\[
\frac{12n}{3n + 2} = k \quad (k \in \mathbb{Z}).
\]

Điều này tương đương với:

\[
12n = k(3n + 2) \implies 12n = 3kn + 2k \implies n(12 - 3k) = 2k.
\]

Nếu \( 12 - 3k \neq 0 \), ta có:

\[
n = \frac{2k}{12 - 3k}.
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, cả numerator và denominator cần phải chia hết. Cụ thể là \( 2k \) phải chia hết cho \( 12 - 3k \).

Bây giờ, chúng ta tìm giá trị \( k \) cho trường hợp \( 12 - 3k > 0 \):

\[
12 > 3k \implies k < 4.
\]

Do đó \( k \) có thể nhận giá trị \( 0, 1, 2, 3 \).

Xét từng giá trị của \( k \):

- \( k = 0: n = 0 \) (không là số tự nhiên).
- \( k = 1: n = \frac{2 \cdot 1}{12 - 3 \cdot 1} = \frac{2}{9} \) (không là số tự nhiên).
- \( k = 2: n = \frac{2 \cdot 2}{12 - 3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (không là số tự nhiên).
- \( k = 3: n = \frac{2 \cdot 3}{12 - 3 \cdot 3} = \frac{6}{3} = 2 \) (là số tự nhiên).

Vậy giá trị \( n \) là 2.

c) Tìm giá trị \( n \) mà \( A \) nhỏ nhất. Ta thay \( n = 2 \) vào công thức:

\[
A = \frac{12 \cdot 2}{3 \cdot 2 + 2} = \frac{24}{6 + 2} = \frac{24}{8} = 3.
\]

Kiểm tra tham số:

- Nếu \( n = 1: A = \frac{12 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 2} = \frac{12}{3 + 2} = \frac{12}{5} = 2.4 \).
- Nếu \( n = 2: A = 3 \).
- Nếu \( n = 3: A = \frac{12 \cdot 3}{3 \cdot 3 + 2} = \frac{36}{11} \approx 3.27 \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( A = 2.4 \) khi \( n = 1 \).

Tóm lại:
- \( n \) để \( A \) là nguyên là 2.
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( A = 2.4 \) với \( n = 1 \).