Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình.

Giả sử thời gian để mỗi vòi nước chảy đầy một bể là \( t_1 \) giờ cho vòi thứ nhất và \( t_2 \) giờ cho vòi thứ hai.

**Bước 1:** Tính lưu lượng nước chảy từ mỗi vòi.

- Lưu lượng vòi thứ nhất: \(\frac{1}{t_1}\) bể/giờ.
- Lưu lượng vòi thứ hai: \(\frac{1}{t_2}\) bể/giờ.

**Bước 2:** Tính tổng lưu lượng khi mở cả hai vòi.

Khi mở cả 2 vòi trong 4 giờ thì lượng nước chảy được là:
\[
4\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right)
\]

**Bước 3:** Tính lượng nước còn lại khi đóng vòi thứ hai.

Sau khi xả 4 giờ, tổng lượng nước đã có trong bể là:
\[
4\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right)
\]

Vòi thứ nhất tiếp tục chảy trong 14 giờ, nên nước chảy thêm vào là:
\[
14 \cdot \frac{1}{t_1}
\]

**Bước 4:** Tổng lượng nước khi bể đầy.

Tổng lượng nước trong bể khi bể đầy là:
\[
4\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right) + 14\cdot\frac{1}{t_1} = 1 \quad (1)
\]

**Bước 5:** Phương trình từ mối quan hệ giữa t_1 và t_2.

Theo đề bài, khi mở 2 vòi thì sau 12 giờ bể đầy, nên ta có:
\[
12\left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right) = 1 \quad (2)
\]

**Bước 6:** Giải hệ phương trình.

Từ phương trình (2), ta có:
\[
\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{t_1} \quad (3)
\]

Thay thế (3) vào (1):
\[
4\left(\frac{1}{t_1} + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{t_1}\right)\right) + 14\cdot\frac{1}{t_1} = 1
\]
\[
4\left(\frac{1}{12}\right) + 18\cdot\frac{1}{t_1} = 1
\]
\[
\frac{4}{12} + 18\cdot\frac{1}{t_1} = 1
\]
\[
\frac{1}{3} + 18\cdot\frac{1}{t_1} = 1
\]
\[
18\cdot\frac{1}{t_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
\[
\frac{1}{t_1} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27} \Rightarrow t_1 = 27 \text{ giờ}
\]

Thay \( t_1 = 27 \) vào (3) để tìm \( t_2 \):
\[
\frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{27}
\]
Tìm mẫu chung là 108:
\[
\frac{1}{12} = \frac{9}{108}, \quad \frac{1}{27} = \frac{4}{108} \Rightarrow \frac{1}{t_2} = \frac{9}{108} - \frac{4}{108} = \frac{5}{108}
\]
Do đó:
\[
t_2 = \frac{108}{5} = 21.6 \text{ giờ}
\]

**Kết quả:**
- Thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là 27 giờ.
- Thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể là 21.6 giờ.