Để giải tam giác ABC vuông tại A, với những thông tin đã cho, ta sẽ sử dụng một số công thức trong hình học. Dưới đây là các bước giải cho từng trường hợp:

### a) \( AB = 14 \, \text{cm}, \angle C = 30^\circ \)

1. Tính cạnh AC:
\[
AC = AB \cdot \sin C = 14 \cdot \sin(30^\circ) = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \, \text{cm}.
\]

2. Tính cạnh BC:
\[
BC = AB \cdot \cos C = 14 \cdot \cos(30^\circ) = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 12.12 \, \text{cm}.
\]

### b) \( BC = 6 \, \text{cm}, \angle C = 30^\circ \)

1. Tính cạnh AC:
\[
AC = BC \cdot \sin C = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \, \text{cm}.
\]

2. Tính cạnh AB:
\[
AB = BC \cdot \cos C = 6 \cdot \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.20 \, \text{cm}.
\]

### c) \( AB = 12 \, \text{cm}, BC = 20 \, \text{cm} \)

Sử dụng định lý Pythagore để tính AC.

1. Tính AC:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \, \text{cm}.
\]

### Tóm tắt kết quả:
- a) \( AC = 7 \, \text{cm}, BC \approx 12.12 \, \text{cm}. \)
- b) \( AC = 3 \, \text{cm}, AB \approx 5.20 \, \text{cm}. \)
- c) \( AC = 16 \, \text{cm}. \)