Cho tứ giác ABCD như hình vẽ: có AB = 9, BC = 12, CD = 13, AC = 15 và ED = 5. Biết rằng BE ⊥ AC. Tính độ dài các đoạn thẳng:

Để tính độ dài đoạn thẳng \( AD \) trong tứ giác \( ABCD \) với các thông tin đã cho, ta có thể sử dụng định lý Pytago trong tam giác \( ABE \).

1. **Xác định các cạnh trong tam giác \( ABE \)**:
- \( AB = 9 \)
- \( BE = 5 \) (vì \( BE \perp AC \))

2. **Áp dụng định lý Pytago**:
- Trong tam giác \( ABE \):
\[
AE^2 = AB^2 + BE^2
\]
- Thay giá trị vào:
\[
AE^2 = 9^2 + 5^2 = 81 + 25 = 106
\]
- Suy ra:
\[
AE = \sqrt{106}
\]

3. **Tính độ dài \( AD \)**:
- Ta cần sử dụng tam giác \( ACD \) với \( AC = 15 \) và \( CD = 13 \). Để tìm độ dài \( AD \), ta lại áp dụng định lý Pytago với tam giác \( ACD \):
\[
AD^2 + CD^2 = AC^2
\]
- Suy ra:
\[
AD^2 + 13^2 = 15^2
\]
- Thay giá trị vào:
\[
AD^2 + 169 = 225
\]
- Giải phương trình:
\[
AD^2 = 225 - 169 = 56
\]
- Suy ra:
\[
AD = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}
\]

4. **Kết quả**:
- Độ dài đoạn thẳng \( AD \) là \( 2\sqrt{14} \).

### b) Tính độ dài của \( PQ \)

Để tính \( PQ \), ta cần thông tin về vị trí của \( P \) và \( Q \) trong tứ giác hoặc áp dụng các tính chất hình học. Vì bài tập không cung cấp thông tin cụ thể về độ dài \( PQ \), nên ta sẽ cần thêm thông tin hoặc sơ đồ chi tiết hơn để tính độ dài này.