Để chứng minh \( \triangle AID = \triangle BEC \) trong hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và \( AB < CD \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Gọi các điểm**: Gọi \( I \) và \( E \) lần lượt là giao điểm của đường cao \( AI \) với \( CD \) và giao điểm của đường cao \( BE \) với \( CD \).

2. **Phân tích các tam giác**: Xét hai tam giác \( \triangle AID \) và \( \triangle BEC \).
- Trong $\triangle AID$:
- Góc \( \angle AID \) = góc vuông (do \( AI \) là đường cao).
- Trong $\triangle BEC$:
- Góc \( \angle BEC \) = góc vuông (do \( BE \) là đường cao).

3. **Xét cạnh đối diện**: Do \( AB \parallel CD \), ta có \( AI \) và \( BE \) đều là đường cao, tức là:
- \( AI \) và \( BE \) vuông góc với \( CD \).

4. **Phương pháp đồng dạng**:
- Xét tỉ số các cạnh: \( \frac{AI}{BE} = 1 \) vì cả hai đều là chiều cao từ cùng một điểm đến đường thẳng song song.
- Tiếp theo, \( AD \) và \( BC \) cũng có cái chiều dài bằng nhau do tính chất của hình thang cân.

5. **Kết luận**: Thoả mãn 2 cặp góc vuông và cạnh đáy tương ứng bằng nhau, ta rút ra được \( \triangle AID \) và \( \triangle BEC \) đồng dạng. Do đó:
\[
\triangle AID \cong \triangle BEC
\]

Vậy đã chứng minh xong.