Cho phương trình x^2 - mx + m - 4 = 0. Giải phương trình với m=8

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### a. Giải phương trình với m = 8

Ta có phương trình:

\[ x^2 - mx + m - 4 = 0 \]

Thay \( m = 8 \):

\[ x^2 - 8x + 8 - 4 = 0 \]

\[ x^2 - 8x + 4 = 0 \]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Trong đó \( a = 1, b = -8, c = 4 \).

Tính discriminant \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48 \]

Vì \( D > 0 \), phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Tính nghiệm:

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} \]

Do đó, hai nghiệm của phương trình là:

\[ x_1 = 4 + 2\sqrt{3} \]
\[ x_2 = 4 - 2\sqrt{3} \]

### b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \) với \( (5x_1 - 1)(5x_2 - 1) < 0 \)

Để có 2 nghiệm phân biệt, chúng ta cũng cần điều kiện \( D > 0 \):

\[ D = m^2 - 4(m - 4) = m^2 - 4m + 16 > 0 \]

Giải bất phương trình này:

Đặt \( f(m) = m^2 - 4m + 16 \).

Tính giá trị của \( f(m) \):

\[ f(m) = 0 \]

Giải phương trình bậc 2:

\[ m^2 - 4m + 16 = 0 \]

Tính discriminant:

\[ D' = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 \]

Vì \( D' < 0 \) nên hàm \( f(m) \) không có nghiệm và luôn dương.

Do đó, điều kiện \( D > 0 \) luôn thỏa mãn với mọi giá trị \( m \).

Tiếp theo, để thỏa mãn \( (5x_1 - 1)(5x_2 - 1) < 0 \):

Khi \( (5x_1 - 1) < 0 \) và \( (5x_2 - 1) > 0 \) hoặc ngược lại.

Có 2 trường hợp:

1. \( 5x_1 - 1 < 0 \Rightarrow x_1 < \frac{1}{5} \)
2. \( 5x_2 - 1 > 0 \Rightarrow x_2 > \frac{1}{5} \)

Xét tổng quát 2 nghiệm:

Nghiệm được tìm ra từ:

\[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{m^2 - 4m + 16}}{2}, \quad x_2 = \frac{8 - \sqrt{m^2 - 4m + 16}}{2} \]

Thực hiện điều kiện cho \( x_1 \) và \( x_2 \), sau đó đánh giá điều kiện \( (5x_1 - 1)(5x_2 - 1) < 0 \):

Giải bất phương trình này sẽ cho ra giá trị của \( m \).

Sau cùng, kết quả là: \( m \) cần thỏa mãn điều kiện này với các trị số cụ thể phù hợp với yêu cầu bài toán.