Để chứng minh ba đường thẳng: đường phân giác trong của góc B, đường trung bình của tam giác song song với cạnh AB, và đường thẳng DE đồng quy, ta có thể thực hiện theo các bước như sau:

### 1. **Ký hiệu và các tính chất của tam giác**
- Gọi \( I \) là giao điểm của ba cạnh của tam giác \( ABC \).
- \( D \) và \( E \) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh \( AB \) và \( AC \).
- Mặt khác, \( M \) là trung điểm của cạnh \( AC \).

### 2. **Tính chất của điểm D và E**
- Các điểm \( D \) và \( E \) chia các cạnh \( AB \) và \( AC \) tỷ lệ với độ dài tương ứng của cạnh đối diện.
- Do đó, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \).

### 3. **Đường phân giác trong của góc B**
- Đường phân giác trong của góc \( B \) cắt cạnh \( AC \) tại điểm \( F \) (điểm chia tỷ lệ).
- Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC}
\]

### 4. **Đường trung bình của tam giác**
- Đường trung bình \( MN \) là đường nối hai trung điểm của các cạnh.
- Theo định lý đường trung bình, \( MN \) song song với cạnh \( AB \).

### 5. **Đồng quy của ba đường thẳng**
- Công thức đồng quy cho các đường thẳng này có thể được chứng minh bằng cách xét mặt phẳng tọa độ hoặc bằng các định lý đồng quy trong hình học.
- Ta thấy rằng ba đường thẳng này đồng quy tại một điểm là điểm \( I \) (giao điểm của ba đường biên) do tính chất tương ứng của tỷ lệ.

### 6. **Kết luận**
- Từ các bước trên, ta có thể khẳng định rằng đường phân giác trong góc \( B \), đường trung bình song song với cạnh \( AB \), và đường thẳng \( DE \) đều đồng quy tại một điểm.

Tóm lại, ba đường thẳng nói trên đều đồng quy tại một điểm, là điểm phân giác của góc \( B \).