Để giải bài toán này, chúng ta có phương trình:

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^{x + 3} + \left(\frac{1}{3}\right)^{x + 2} = \frac{4}{27}
\]

Trước tiên, ta nhận thấy rằng \(\frac{4}{27}\) có thể được viết lại dưới dạng số mũ của 3:
\[
\frac{4}{27} = \frac{4}{3^3} = \frac{4}{\left(3^{1}\right)^3} = \frac{4}{27} = 4 \cdot 3^{-3}
\]

Ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^{x + 3} + \left(\frac{1}{3}\right)^{x + 2} = 4 \cdot 3^{-3}
\]

Đặt \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x + 2}\):
- Khi đó, \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x + 3} = y \cdot \frac{1}{3}\).

Thay vào phương trình, ta có:

\[
\frac{y}{3} + y = \frac{4}{27}
\]

Gộp lại:

\[
\frac{y + 3y}{3} = \frac{4}{27}
\]
\[
\frac{4y}{3} = \frac{4}{27}
\]

Nhân chéo:

\[
4y \cdot 27 = 4 \cdot 3
\]

Chia cả hai bên cho 4:

\[
27y = 3
\]

Cuối cùng, giải cho \(y\):

\[
y = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}
\]

Vì \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x + 2}\), ta có:

\[
\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^{x + 2}
\]

Biến đổi \(1/9\) thành số mũ:

\[
\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2}
\]

Vậy có:

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^{x + 2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2}
\]

Do đó \(x + 2 = 2\), suy ra:

\[
x = 0
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{0}
\]