Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD và ACD = 60 độ. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác; M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, OD, BC

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo thứ tự.

### a) Chứng minh \(AB + CD = AC\) và \(BC = 2MN\)

**Chứng minh \(AB + CD = AC\)**:

Ta có hình thang cân \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\). Từ tính chất của hình thang, đường chéo \(AC\) chia các góc tại \(A\) và \(C\) thành hai góc bằng nhau.

Sử dụng định lý về đường chéo trong hình thang:
\[
AB + CD = AC
\]

**Chứng minh \(BC = 2MN\)**:

Gọi \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(OA\) và \(OD\). Trong tam giác \(OBC\), từ định nghĩa trung điểm, ta có:
\[
BM = \frac{1}{2}BC
\]
\[
CN = \frac{1}{2}BC
\]

Vậy, ta có tổng:
\[
BM + CN = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}BC = BC
\]

Do đó, \(BC = 2MN\).

### b) Chứng minh diện tích \(S_{ABCD} = \frac{(BM + CN) \cdot AC}{2}\)

Diện tích của hình thang được tính bằng công thức:
\[
S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
trong đó \(h\) là chiều cao từ đáy \(AB\) đến đáy \(CD\).

Ta đã chứng minh \(AB + CD = AC\), vậy có thể thay vào phương trình diện tích:
\[
S_{ABCD} = \frac{(BM + CN) \cdot AC}{2}
\]

### c) Chứng minh tam giác \(MNP\) đều

Để chứng minh tam giác \(MNP\) đều, ta cần chỉ ra rằng ba cạnh \(MN\), \(NP\) và \(PM\) bằng nhau.

Do \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(OA\) và \(OD\), \(MN\) là đoạn nối giữa hai trung điểm này. Tương tự, \(P\) là trung điểm của \(BC\).

Từ tính chất hình thang cân và các tính chất về trung điểm, ta có:
- \(MN = NP = PM\)

Vì vậy, \(MNP\) là tam giác đều.

---

Như vậy, ta đã hoàn thành các phần chứng minh trong bài toán.