Giải phương trình lượng giác sau

Để giải phương trình lượng giác sau:

\[
\cos^3 x \cos 3x + \sin x \sin 3x = \frac{\sqrt{2}}{4}
\]

Chúng ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác cơ bản và những biến đổi hợp lý.

### Bước 1: Biến đổi và áp dụng công thức
Áp dụng công thức:

\[
\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]
\]

Với \(A = 3x\) và \(B = x\):

\[
\sin x \sin 3x = \frac{1}{2} [\cos(3x - x) - \cos(3x + x)] = \frac{1}{2} [\cos(2x) - \cos(4x)]
\]

### Bước 2: Tính \(\cos 3x\)

Áp dụng công thức:

\[
\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x
\]

Do đó,

\[
\cos^3 x \cos 3x = \cos^3 x (4 \cos^3 x - 3 \cos x) = 4\cos^6 x - 3\cos^4 x
\]

### Bước 3: Chuyển đổi phương trình

Thay vào phương trình ban đầu:

\[
4\cos^6 x - 3\cos^4 x + \frac{1}{2}[\cos(2x) - \cos(4x)] = \frac{\sqrt{2}}{4}
\]

### Bước 4: Giải phương trình sau khi giảm bậc

Sau khi đưa về một phương trình bậc cao, bạn cần sử dụng các phương pháp giải phương trình (như đặt ẩn, đồ thị hoặc số học) để tìm các giá trị của \(x\).

### Bước 5: Kiểm tra nghiệm

Sau khi tìm nghiệm, nhớ kiểm tra lại giá trị của chúng khi thay vào phương trình ban đầu để đảm bảo tính chính xác.

Nếu cần một phương pháp cụ thể hơn, bạn có thể cần định rõ điều kiện của \(x\), hay sử dụng các công cụ tính toán hỗ trợ để xác định nghiệm gần nhất.